Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^4-2x^2-8 в точках его пересечения с осью абсцисс. найдите точку пересечения этих касательных

Answer 1

................................................

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = x^4 - 2x^2 - 8 в точках его пересечения с осью абсцисс, мы должны найти эти точки пересечения.

Точки пересечения графика функции с осью абсцисс находятся при значениях y = 0. Таким образом, мы можем записать уравнение следующим образом:

x^4 - 2x^2 - 8 = 0

Решение уравнения

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться факторизацией или методом замены переменной. Давайте воспользуемся методом замены переменной и представим x^2 в виде новой переменной, например, z:

z = x^2

Тогда уравнение примет вид:

z^2 - 2z - 8 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение при помощи формулы дискриминанта или метода факторизации. Решим его при помощи формулы дискриминанта:

Дискриминант D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

z1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 z2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Обратная замена

Теперь, когда мы нашли значения z, мы можем вернуться к нашей исходной переменной x:

Для z1 = 4: x^2 = 4 x = ±√4 x1 = 2, x2 = -2

Для z2 = -2: x^2 = -2 Здесь нет реальных корней, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Таким образом, точки пересечения графика функции с осью абсцисс - это x = 2 и x = -2.

Нахождение уравнения касательных

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем найти уравнения касательных к графику функции в этих точках.

Уравнение касательной к кривой в точке (a, f(a)) можно найти, используя производную функции f(x) и формулу:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Нахождение производной

Давайте найдем производную функции y = x^4 - 2x^2 - 8 с помощью правила дифференцирования степенной функции:

y' = 4x^3 - 4x

Подстановка точек пересечения

Теперь мы можем подставить значения x = 2 и x = -2 в уравнение касательной, используя производную функции:

Для точки (2, 0): y - 0 = (4(2)^3 - 4(2))(x - 2)

Упрощая это уравнение, получим: y = 12(x - 2)

Для точки (-2, 0): y - 0 = (4(-2)^3 - 4(-2))(x - (-2))

Упрощая это уравнение, получим: y = -12(x + 2)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^4 - 2x^2 - 8 в точке (2, 0) будет y = 12(x - 2), а уравнение касательной в точке (-2, 0) будет y = -12(x + 2).