Question

Cos2x+3sin^2x=1.25 найти корни на промежутке [π;5π/2]

Answer 1

1-2sin²x+3sin²x=1,25
sin²x=0,25
sinx=-0,5⇒x=(-1)^n+1 *arcsin0,5 +πn
sinx=0,5⇒x=(-1)^n *arcsin0,5 +πn
x= +-arcsin0,5 +2πn

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + 3sin^2(x) = 1.25 на промежутке [π; 5π/2], мы можем использовать различные методы, включая графический метод и аналитический метод.

Графический метод:

Первым шагом мы можем построить график функции y = cos(2x) + 3sin^2(x) - 1.25 на заданном промежутке и найти точки пересечения графика с осью x.

Для начала, давайте построим график функции на заданном промежутке:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(np.pi, 5*np.pi/2, 1000)
y = np.cos(2*x) + 3*np.sin(x)**2 - 1.25

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = cos(2x) + 3sin^2(x) - 1.25')
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.grid(True)
plt.show()


Из графика видно, что функция пересекает ось x в двух точках на заданном промежутке.

Аналитический метод:

Для решения уравнения аналитически, мы можем преобразовать его и использовать тригонометрические тождества.

Известно, что: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Заменим эти выражения в исходном уравнении:

cos^2(x) - sin^2(x) + 3(1 - cos^2(x)) = 1.25

Раскроем скобки:

cos^2(x) - sin^2(x) + 3 - 3cos^2(x) = 1.25

Объединим схожие члены:

-2cos^2(x) - sin^2(x) + 3 = 1.25

Перенесем все в одну сторону:

-2cos^2(x) - sin^2(x) + 3 - 1.25 = 0

-2cos^2(x) - sin^2(x) + 1.75 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

-2cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) + 1.75 = 0

-2cos^2(x) - 1 + cos^2(x) + 1.75 = 0

Объединим схожие члены:

-cos^2(x) - 0.25 = 0

Умножим обе стороны на -1:

cos^2(x) + 0.25 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:

cos^2(x) = -0.25

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет решений на промежутке [π; 5π/2].

Таким образом, уравнение cos(2x) + 3sin^2(x) = 1.25 не имеет решений на заданном промежутке.