Question

Один из корней квадратного уравнения x^2+2x+q=0 в 6 раз больше другого. Найдите корни уравнения и значение q.

Answer 1

Пусть один корень х₁, тогда второй х₂=6х₁. По теореме Виета х₁*х₂=q, a x₁+x₂=-p. В заданном уравнении p=2, тогда х₁+х₂=х₁+6х₁=7х₁=-2 ,  ⇒   x₁=-3,5 , x₂=6*(-3,5)=-21  

  q=x₁*x₂=x₁*6x₁=6x₁², q= 6( -3,5)²= 73,5  

Answer 2

Давайте обозначим корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x + q = 0\) как \(x_1\) и \(x_2\). Условие задачи гласит, что один из корней в 6 раз больше другого. Мы можем это записать следующим образом:

\[ x_1 = 6x_2 \]

Теперь вспомним, что для квадратного уравнения с коэффициентами \(a\), \(b\), и \(c\) корни могут быть найдены с использованием формул Виета:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{и} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = q\). Подставим это в формулы Виета:

\[ x_1 + x_2 = -2 \quad \text{и} \quad x_1 \cdot x_2 = q \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(x_1\) и \(x_2\)):

\[ \begin{cases} x_1 = 6x_2 \\ x_1 + x_2 = -2 \end{cases} \]

Решим систему уравнений. Подставим выражение для \(x_1\) из первого уравнения во второе:

\[ 6x_2 + x_2 = -2 \]

Упростим:

\[ 7x_2 = -2 \]

Решим для \(x_2\):

\[ x_2 = -\frac{2}{7} \]

Теперь найдем \(x_1\), подставив \(x_2\) в первое уравнение:

\[ x_1 = 6 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) = -\frac{12}{7} \]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 2x + q = 0\) равны \(-\frac{12}{7}\) и \(-\frac{2}{7}\), а значение \(q\) равно произведению корней:

\[ q = x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{12}{7}\right) \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) = \frac{24}{49} \]