Question

|4x-8|+|2-x|=4 (знайти суму коренів рівняння) |x-1|+|x+3|=6,2 (знайти корін,який належить проміжку від -нескінченності до -3) |x-5|-1=a )вказати всі значення а,за яких рівняння має два корені)

Answer 1

1. $|4x-8|+|2-x|=4$
$4|x-2|+|2-x|=4\\ 4|x-2|+|x-2|=4\\ 5|x-2|=4\\ |x-2|= \frac{4}{5} \\ x=\pm \frac{4}{5} +2\\ \\ x_1=\frac{14}{5} ;\,\,\,\, x_2=\frac{6}{5}$

Сума коренів: $\frac{14}{5} +\frac{6}{5} =\frac{20}{5} =4$

2. $|x-1|+|x+3|=6.2$
Знайдемо знаки підмодульного виразу
 $\left[\begin{array}{ccc}x-1=0\\ x+3=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=1\\ x_2=-3\end{array}\right$

___- -___(-3)___-+_____(1)___++____
 
 Маємо наступне

$\left[\begin{array}{ccc}\begin{cases} & \text{ } x \leq -3 \\ & \text{ } -x+1-x-3=6.2 \end{cases}\\\begin{cases} & \text{ } -3\ \textless \ x \leq 1 \\ & \text{ } -x+1+x+3=6.2 \end{cases}\\\begin{cases} & \text{ } x\ \textgreater \ 1 \\ & \text{ } x-1+x+3=6.2 \end{cases}\end{array}\right\Rightarrow$$\left[\begin{array}{ccc}\begin{cases} & \text{ } x \leq -3 \\ & \text{ } x=-4.1 \end{cases}\\\begin{cases} & \text{ } -3\ \textless \ x \leq 1 \\ & \text{ } 4=6.2 \end{cases}\\\begin{cases} & \text{ } x\ \textgreater \ 1 \\ & \text{ } x=2.1 \end{cases}\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x=-4.1\\ \O\\ x=2.1\end{array}\right$

$x=-4.1\,\,\in\,\,(-\infty;-3)$



$|x-5|-1=a\\ |x-5|=a+1$
За властивістю модуля
  $a+1\ \textgreater \ 0;\,\,\,a\ \textgreater \ -1$ 

При $a \in(-1;+\infty)$ рівняння має 2 корені

Answer 2

Перш за все, вам потрібно розв'язати перше рівняння |4x-8|+|2-x|=4, щоб знайти суму коренів. Для цього розглянемо два випадки, коли вирази всередині модулів мають різні знаки і коли вони мають однакові знаки.

Випадок 1: Вирази всередині модулів мають різні знаки

Якщо вирази всередині модулів мають різні знаки, тобто (4x-8) < 0 і (2-x) > 0 або (4x-8) > 0 і (2-x) < 0, тоді модулі можна видалити, замінивши їх відповідними виразами без модулів. Вам потрібно розв'язати два рівняння окремо:

Для (4x-8) < 0 і (2-x) > 0: 4x-8+2-x=4 3x-6=4 3x=10 x=10/3

Для (4x-8) > 0 і (2-x) < 0: -(4x-8)+(x-2)=4 -4x+8+x-2=4 -3x+6=4 -3x=-2 x=2/3

Таким чином, у випадку, коли вирази всередині модулів мають різні знаки, рівняння має два корені: x=10/3 та x=2/3.

Випадок 2: Вирази всередині модулів мають однакові знаки

Якщо вирази всередині модулів мають однакові знаки, тобто (4x-8) > 0 і (2-x) > 0 або (4x-8) < 0 і (2-x) < 0, тоді модулі також можна видалити, замінивши їх відповідними виразами без модулів. Вам потрібно розв'язати два рівняння окремо:

Для (4x-8) > 0 і (2-x) > 0: 4x-8+2-x=4 3x-6=4 3x=10 x=10/3

Для (4x-8) < 0 і (2-x) < 0: -(4x-8)-(x-2)=4 -4x+8-x+2=4 -5x+10=4 -5x=-6 x=6/5

Таким чином, у випадку, коли вирази всередині модулів мають однакові знаки, рівняння має два корені: x=10/3 та x=6/5.

Знаходження кореня в проміжку від -∞ до -3

Для рівняння |x+3|=6.2, ви можете розглянути два випадки, коли вираз всередині модуля має різні знаки і коли він має однаковий знак.

Випадок 1: Вираз всередині модуля має різні знаки

Якщо вираз всередині модуля має різні знаки, тобто (x+3) < 0, тоді можна видалити модуль, замінивши його відповідним виразом без модуля. Вам потрібно розв'язати рівняння:

x+3=-6.2 x=-6.2-3 x=-9.2

Таким чином, у випадку, коли вираз всередині модуля має різні знаки, рівняння має один корінь: x=-9.2.

Випадок 2: Вираз всередині модуля має однаковий знак

Якщо вираз всередині модуля має однаковий знак, тобто (x+3) > 0, тоді також можна видалити модуль, замінивши його відповідним виразом без модуля. Вам потрібно розв'язати рівняння:

-(x+3)=6.2 -x-3=6.2 -x=6.2+3 -x=9.2 x=-9.2

Таким чином, у випадку, коли вираз всередині модуля має однаковий знак, рівняння має один корінь: x=-9.2.

Знаходження значень a, при яких рівняння має два корені

Тепер давайте знайдемо значення a, при яких рівняння має два корені. Для цього розглянемо рівняння |x-5|-1=a.

Вираз всередині модуля має різні знаки, тому ми можемо видалити модуль, замінивши його відповідним виразом без модуля. Вам потрібно розв'язати рівняння:

x-5-1=a x-6=a

Таким чином, рівняння має два корені для будь-якого значення a.

Отже, всі значення a задовольняють умову, коли рівняння має два корені.