Question

Найти область значений функции y=3^(2 cos^2(x)-sin^2(x))

Answer 1

$cos^2x \in [0; \ 1], \ sin^2x \in [0; \ 1] \Rightarrow 2cos^2x-sin^2x \in [-1; \ 2] \Rightarrow \\ \Rightarrow 3^{2cos^2x-sin^2x} \in [ \dfrac{1}{3} ; \ 9]$

Answer 2

Давайте разберёмся с функцией \( y = 3^{2 + \cos^2(x) - \sin^2(x)} \) и найдём её область значений.

Сначала разберёмся с выражением в показателе степени \(2 + \cos^2(x) - \sin^2(x)\). Обратимся к основным тригонометрическим тождествам:

1. \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \) (тригонометрическое тождество Пифагора). 2. \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) \) (формула двойного угла для тригонометрических функций).

Теперь мы можем переписать показатель степени функции \( y = 3^{2 + \cos^2(x) - \sin^2(x)} \) следующим образом:

\[2 + \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 + \cos(2x)\]

Таким образом, у нас получается новая функция:

\[ y = 3^{2 + \cos(2x)} \]

Область значений функции \(3^{2 + \cos(2x)}\) определяется значением \(2 + \cos(2x)\), так как \(3^x\) всегда положительно для всех реальных \(x\).

Значение \(\cos(2x)\) может варьироваться от -1 до 1 для всех реальных значений \(x\).

Таким образом, \(2 + \cos(2x)\) будет варьироваться от \(2 - 1 = 1\) до \(2 + 1 = 3\).

Следовательно, область значений функции \( y = 3^{2 + \cos^2(x) - \sin^2(x)} \) или \( y = 3^{2 + \cos(2x)} \) будет от \(3^1 = 3\) до \(3^3 = 27\).

Итак, область значений функции \( y = 3^{2 + \cos^2(x) - \sin^2(x)} \) будет \(3 \leq y \leq 27\).