Question

Найти площадь фигуры: 1)y=(x+1)^2, y=0,x=0 2)y=x^3+1, y=1, x=2 Хотя бы какой-нибудь.

Answer 1

/////////////////////////////

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте рассмотрим каждую фигуру по отдельности.

Фигура 1: У нас есть две функции, ограничивающие фигуру: y = (x + 1)^2 и y = 0.

Для начала, найдем точки пересечения этих двух функций. Поскольку y = 0 является горизонтальной линией, она пересекает ось x в точке x = 0. Подставляя эту точку в уравнение y = (x + 1)^2, мы получаем y = (0 + 1)^2 = 1. Таким образом, точка пересечения этих двух функций - (0, 1).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими двумя функциями, мы должны вычислить определенный интеграл от одной функции до другой.

Интеграл от x = 0 до x = 2 функции (x + 1)^2 дает нам следующее: ∫[(x + 1)^2 - 0] dx = ∫(x^2 + 2x + 1) dx = [x^3/3 + x^2 + x] от 0 до 2.

Подставляя пределы интегрирования, получаем: [(2^3/3 + 2^2 + 2) - (0^3/3 + 0^2 + 0)] = (8/3 + 4 + 2) - (0) = 8/3 + 4 + 2 = 18/3 + 4 = 6 + 4 = 10.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками y = (x + 1)^2 и y = 0 на отрезке от x = 0 до x = 2, равна 10 квадратным единицам.

Фигура 2: У нас также есть две функции, ограничивающие эту фигуру: y = x^3 + 1 и y = 1.

Для начала, найдем точки пересечения этих двух функций. Поскольку y = 1 является горизонтальной линией, она пересекает ось y в точке y = 1. Подставляя эту точку в уравнение y = x^3 + 1, мы получаем 1 = x^3 + 1. Отсюда следует, что x^3 = 0, и единственное решение этого уравнения - x = 0. Таким образом, точка пересечения этих двух функций - (0, 1).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими двумя функциями, мы снова должны вычислить определенный интеграл от одной функции до другой.

Интеграл от x = 0 до x = 2 функции x^3 + 1 дает нам следующее: ∫[(x^3 + 1) - 1] dx = ∫(x^3) dx = x^4/4 от 0 до 2.

Подставляя пределы интегрирования, получаем: [(2^4/4) - (0^4/4)] = (16/4) - (0/4) = 4 - 0 = 4.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками y = x^3 + 1 и y = 1 на отрезке от x = 0 до x = 2, равна 4 квадратным единицам.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.