Question

Решить уравнение : log2(x^2-3x-10)=3

Answer 1

Log2(x²-3x-10)=3
ОДЗ: x²-3x-10>0; ⇔ x ∈ (-∞;-2)U(5;+∞)
Преобразуем уравнение
log2(x²-3x-10) = log2(2³)
x²-3x-10=8
x²-3x-18=0
По т. виета подберем корни
x1=-3
x2=6

Ответ: -3; 6

Answer 2

Для решения уравнения \(\log_2(x^2 - 3x - 10) = 3\), мы можем использовать определение логарифма. В частности, если \(\log_b(a) = c\), то это эквивалентно уравнению \(b^c = a\).

В данном случае у нас \(\log_2(x^2 - 3x - 10) = 3\). Это означает, что \(2^3 = x^2 - 3x - 10\). Решим это уравнение.

\[ 2^3 = x^2 - 3x - 10 \]

\[ 8 = x^2 - 3x - 10 \]

Теперь приведем уравнение к канонической форме квадратного уравнения (уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\)):

\[ x^2 - 3x - 10 - 8 = 0 \]

\[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулой корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -18\). Вычислим дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня:

\[ x = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2(1)} \]

\[ x_1 = \frac{3 + 9}{2} = 6 \]

\[ x = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2(1)} \]

\[ x_2 = \frac{3 - 9}{2} = -3 \]

Таким образом, уравнение \(\log_2(x^2 - 3x - 10) = 3\) имеет два решения: \(x = 6\) и \(x = -3\). Однако, так как логарифм определен только для положительных значений, мы должны убедиться, что \(x^2 - 3x - 10\) положительно:

1. Проверим для \(x = 6\): \(6^2 - 3 \cdot 6 - 10 = 36 - 18 - 10 = 8\). Значение положительно. 2. Проверим для \(x = -3\): \((-3)^2 - 3 \cdot (-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8\). Значение также положительно.

Таким образом, оба решения \(x = 6\) и \(x = -3\) удовлетворяют исходному уравнению.