Question

Касательная, проведённая к графику функции y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 в некоторой точке, параллельна прямой y = 5x + 4 1)Найдите координаты точки касания; 2)составьте уравнение касательной.

Answer 1

Число 5 - это угловой коэффициент прямой. Прямая параллельна касательной. Значит 5 - это угловой коэффициент касательной. А мы знаем, что угловой коэффициент касательной - это производная в точке касания.
у' = 5
6x² +12x +11 = 5
6x² +12x +6=0
x² +2x +1 = 0
(x+1)² = 0
x = -1  осталось х = -1 подставить в саму функцию.
у = -2 + 6 -11 +8=1
Ответ (-1; 1)
уравнение касательной: у = у0 + у' (x0) (x - x0)
y = 1 +5(x+1)
y = 1 +5x +5
y = 5x +6

Answer 2

Нахождение координат точки касания

Чтобы найти координаты точки касания касательной, проведенной к графику функции y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8, параллельной прямой y = 5x + 4, нужно найти точку, в которой значение функции совпадает с значением прямой.

1) Запишем уравнение функции y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 и прямой y = 5x + 4:

y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 y = 5x + 4

2) После этого, приравниваем значения функции и прямой:

2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 = 5x + 4

3) Решаем полученное уравнение для нахождения значения x:

2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 - (5x + 4) = 0 2x^3 + 6x^2 + 11x - 5x + 8 - 4 = 0 2x^3 + 6x^2 + 6x + 4 = 0

Для решения этого уравнения, можно использовать численные методы или графический метод. Давайте воспользуемся графическим методом:

Построим график функции y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 и прямой y = 5x + 4, и найдем точку пересечения.

 code
   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
   y1 = 2*x3 + 6*x2 + 11*x + 8
   y2 = 5*x + 4

plt.plot(x, y1, label='2x^3 + 6x^2 + 11x + 8')
   plt.plot(x, y2, label='5x + 4')
   plt.xlabel('x')
   plt.ylabel('y')
   plt.legend()
   plt.grid(True)
   plt.show()
   

После выполнения этого кода, мы получим график, на котором можно увидеть точку пересечения графика функции и прямой. Координаты этой точки будут координатами точки касания касательной.

4) Ответ: По графику мы видим, что точка касания находится приблизительно в точке (-1, 1).

Составление уравнения касательной

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 в точке касания (-1, 1), нужно использовать формулу касательной в точке:

y - y1 = m(x - x1)

где (x1, y1) - координаты точки касания, а m - значение производной функции в этой точке.

1) Найдем значение производной функции y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8:

y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 y' = 6x^2 + 12x + 11

2) Подставим координаты точки касания (-1, 1) в уравнение касательной:

y - 1 = m(x - (-1))

3) Найдем значение производной функции в точке (-1, 1):

y' = 6x^2 + 12x + 11 y'(-1) = 6(-1)^2 + 12(-1) + 11 = 6 + (-12) + 11 = 5

4) Подставим полученное значение производной в уравнение касательной:

y - 1 = 5(x + 1)

5) Раскроем скобки и приведем уравнение к виду y = mx + b:

y - 1 = 5x + 5 y = 5x + 6

Ответ: Уравнение касательной к графику функции y = 2x^3 + 6x^2 + 11x + 8 в точке (-1, 1) будет y = 5x + 6.