Question

Решительно неравенство lg(x^2-2x-2)<1

Answer 1

$\mathtt{\lg(x^2-2x-2)\ \textless \ 1;~\left\{{{x^2-2x-2\ \textless \ 10}\atop{(x-1)^2-3\ \textgreater \ 0;}}\right}$

решим систему: 

$\mathtt{\left\{{{x^2-2x+1-13\ \textless \ 0}\atop{(x-1)^2-(\sqrt{3})^2\ \textgreater \ 0}}\right\left\{{{(x-1)^2-(\sqrt{13})^2\ \textless \ 0}\atop{(x-1)^2-(\sqrt{3})^2\ \textgreater \ 0}}\right\left\{{{(x-[1-\sqrt{13}])(x-[1+\sqrt{13}])\ \textless \ 0}\atop{(x-[1-\sqrt{3}])(x-[1+\sqrt{3}])\ \textgreater \ 0}}\right}$

ответ: $\mathtt{x\in(1-\sqrt{13};~1-\sqrt{3})U(1\sqrt{3};~1+\sqrt{13})}$

Answer 2

 lg(x^2-2x-2)<1 
lg(x^2-2x-2)<lg10
x^2-2x-2<10
x^2-2x-12<0
D=4-4*(-12)=52
x=2+ 2 корня из 13/2=1+ корень из 13
х=  1- корень из 13
по методу интервалов : х = (1-корень из 13; 1+ корень из 13) 
ОДЗ: x^2-2x-2>0
D=4-4*(-2)=12
x=2+2 корня из 3/2=1+ корень из 3
х=1-корень из 3
По методу интервалов: х=(-бесконечность, 1-корень из 3) объединенно с (1+корень из 3, +бесконечность) 
Ответ: (1- корень из 13;1- корень из 3) объединенно с (1+корень из 3, 1+корень из 13)

Answer 3

Чтобы решить неравенство \( \lg(x^2-2x-2) < 1 \), где \(\lg\) обозначает логарифм по основанию 10, следует выполнить несколько шагов.

1. Избавиться от логарифма: \[ \lg(x^2-2x-2) < 1 \] Преобразуем логарифм, используя свойства логарифмов. Если \(\lg(a) < b\), то можно записать \(10^{\lg(a)} < 10^b\). Применяя это свойство, получим: \[ x^2 - 2x - 2 < 10^1 \]

2. Упростить выражение: \[ x^2 - 2x - 2 < 10 \] Перенесем все элементы в одну сторону: \[ x^2 - 2x - 12 < 0 \]

3. Решить квадратное уравнение: Теперь нужно найти корни уравнения \( x^2 - 2x - 12 = 0 \). Можно воспользоваться формулой квадратного корня или завершить квадрат: \[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \( x = 4 \) и \( x = -2 \).

4. Определить знак выражения в интервалах между корнями: Теперь выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов, образованных корнями (-бесконечность, -2), (-2, 4), (4, +бесконечность).

- При \( x = -3 \) (в интервале (-бесконечность, -2)): \[ (-3 - 4)(-3 + 2) = (-7)(-1) = 7 > 0 \] Значит, знак выражения в этом интервале положителен.

- При \( x = 0 \) (в интервале (-2, 4)): \[ (0 - 4)(0 + 2) = (-4)(2) = -8 < 0 \] Значит, знак выражения в этом интервале отрицателен.

- При \( x = 5 \) (в интервале (4, +бесконечность)): \[ (5 - 4)(5 + 2) = (1)(7) = 7 > 0 \] Значит, знак выражения в этом интервале положителен.

5. Собрать ответ: Исходное неравенство \( x^2 - 2x - 12 < 0 \) выполняется в интервалах, где выражение имеет отрицательный знак. Таким образом, решение неравенства - это интервалы, где \( x \) принимает значения между корнями уравнения \( x^2 - 2x - 12 = 0 \). С учетом знаков тестовых точек, это интервал (-2, 4). Таким образом, решение неравенства - \( x \in (-2, 4) \).