Question

Докажите, что любую функцию с симметричной относительно точки 0 областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции.

Answer 1

Пусть f(x) - произвольная функция из условия задачи. Запишем тождество

$f(x) = f(x)\\\\ f(x) = \frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(x)\\\\ f(x) = \frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(-x)+\frac{1}{2}f(x)-\frac{1}{2}f(-x)\\\\ f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}$

Так как область определения симметрична, подобное разложение корректно. В то же время мы видим, что первая дробь является четной функцией (замена x на минус x не меняет дробь), а вторая - является четной функцией (замена x на минус x меняет знак у всей дроби)

Answer 2

Любую функцию с симметричной относительно точки 0 областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольную функцию f(x), определенную на области определения D, которая является симметричной относительно точки 0. Чтобы доказать, что f(x) можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции, мы должны найти такие функции g(x) и h(x), чтобы выполнялись следующие условия:

1. g(x) - чётная функция: g(x) = g(-x) 2. h(x) - нечётная функция: h(x) = -h(-x) 3. f(x) = g(x) + h(x)

Для поиска таких функций g(x) и h(x) мы можем использовать следующие подходы:

1. Разложение функции f(x) на чётную и нечётную части: Мы можем разложить функцию f(x) на чётную и нечётную части, используя следующие формулы: g(x) = (f(x) + f(-x))/2 h(x) = (f(x) - f(-x))/2

2. Использование косинуса и синуса: Мы можем использовать тригонометрические функции косинуса и синуса для представления функции f(x) в виде суммы чётной и нечётной функции: g(x) = (f(x) + f(-x))/2 h(x) = (f(x) - f(-x))/2

Оба подхода приводят к представлению функции f(x) в виде суммы чётной и нечётной функции. Это доказывает, что любую функцию с симметричной относительно точки 0 областью определения можно представить в таком виде.

Пример: Пусть у нас есть функция f(x) = x^2, определенная на всей числовой прямой. Эта функция является симметричной относительно точки 0. Мы можем разложить эту функцию на чётную и нечётную части следующим образом: g(x) = (f(x) + f(-x))/2 = (x^2 + (-x)^2)/2 = (x^2 + x^2)/2 = 2x^2/2 = x^2 h(x) = (f(x) - f(-x))/2 = (x^2 - (-x)^2)/2 = (x^2 - x^2)/2 = 0/2 = 0

Таким образом, функция f(x) = x^2 может быть представлена в виде суммы чётной функции g(x) = x^2 и нечётной функции h(x) = 0.

Примечание: Данный ответ основан на логическом рассуждении и не требует привлечения внешних источников.