Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x^2-8x+19 на отрезке [-1;5]

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x^2 - 8x + 19 на отрезке [-1;5], мы можем использовать метод дифференцирования и анализа кривизны функции.

Нахождение критических точек

Для начала, найдем критические точки функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции y = x^2 - 8x + 19: y' = 2x - 8

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2x - 8 = 0 2x = 8 x = 4

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 4.

Анализ кривизны и нахождение экстремумов

Теперь, проанализируем кривизну функции и найдем экстремумы.

1. Найдем вторую производную функции: y'' = 2

2. Посмотрим на знак второй производной в окрестности критической точки x = 4. - Если y'' > 0, то функция выпуклая вверх и имеет локальный минимум в точке x. - Если y'' < 0, то функция выпуклая вниз и имеет локальный максимум в точке x. - Если y'' = 0, то анализ кривизны не дает ясного ответа.

В нашем случае, y'' = 2 > 0, поэтому функция является выпуклой вверх. Из этого следует, что точка x = 4 является локальным минимумом функции.

Вычисление значений функции

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;5], мы можем вычислить функцию в концах отрезка и в критической точке.

1. Вычислим функцию в концах отрезка: - Для x = -1: y = (-1)^2 - 8(-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28 - Для x = 5: y = (5)^2 - 8(5) + 19 = 25 - 40 + 19 = 4

2. Вычислим функцию в критической точке x = 4: y = (4)^2 - 8(4) + 19 = 16 - 32 + 19 = 3

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1;5] равно 28, а наименьшее значение равно 3.