Question

4^x-1+2^x-2-3\2≥0 Помогите решить,пожалуйста!

Answer 1

$4^{x-1}+2 ^{x-2} - \frac{3}{2} \geq 0$
$\frac{2 ^{2x} }{4} + \frac{2 ^{x} }{4} - \frac{3}{2} \geq 0$  |*4
$2^{2x} + 2^{x} -6 \geq 0$
Пусть $2^{x} = t, t\ \textgreater \ 0$
$t^{2}+t-6 \geq 0$
(t+3)(t-2)$\geq 0$

       +                    --                          +
----------------|--------------------|------------------>
                   -3                          2                        t
t= - 3 - посторонний корень
$2^{x}=2$
x = 1
                           --                       +     
------------------------------|----------------->
                                       1                      x
x∈[1; ∞)

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны найти значения переменной x, при которых выражение 4^x - 1 + 2^x - 2 - 3/2 ≥ 0. Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Сначала приведем выражение к общему знаменателю. Мы видим, что у нас есть числитель с разными основаниями (4 и 2). Чтобы привести их к общему знаменателю, мы можем представить 4 в виде 2^2. Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

2^(2x) - 1 + 2^x - 2 - 3/2 ≥ 0

Шаг 2: Преобразование и упрощение

Теперь, когда у нас есть общее основание 2, мы можем сложить два слагаемых с основанием 2:

2^(2x) + 2^x - 3/2 ≥ 0

Шаг 3: Замена переменной

Давайте введем новую переменную, например, y = 2^x. Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

y^2 + y - 3/2 ≥ 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь наше уравнение принимает форму квадратного уравнения. Мы можем решить его, используя различные методы. Одним из способов является использование дискриминанта для определения корней уравнения.

Дискриминант (D) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, у нас есть уравнение y^2 + y - 3/2 ≥ 0, где a = 1, b = 1 и c = -3/2. Вычислим дискриминант:

D = 1^2 - 4(1)(-3/2) = 1 + 6 = 7

Шаг 5: Анализ дискриминанта

Теперь мы можем проанализировать значение дискриминанта, чтобы определить характер корней нашего квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, D = 7 > 0, поэтому у нас будет два различных действительных корня.

Шаг 6: Нахождение корней

Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней. Для этого мы должны использовать формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

В нашем случае, a = 1, b = 1 и c = -3/2. Подставим эти значения в формулу и решим ее:

y = (-1 ± √7) / (2 * 1)

y₁ = (-1 + √7) / 2 y₂ = (-1 - √7) / 2

Шаг 7: Возврат к исходной переменной

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x, используя наше предыдущее определение y = 2^x. Подставим значения y₁ и y₂ в это определение и решим его:

y₁ = 2^x₁ y₂ = 2^x₂

x₁ = log₂(y₁) x₂ = log₂(y₂)

Ответ

Таким образом, решение исходного уравнения 4^x - 1 + 2^x - 2 - 3/2 ≥ 0 состоит из двух интервалов:

x ∈ (-∞, log₂(y₁)] ∪ [log₂(y₂), +∞)

где y₁ = (-1 + √7) / 2 и y₂ = (-1 - √7) / 2.