Question

Доказать что последовательность имеет предел A=3

Answer 1

$\{x_{n}\}=\{\frac{3n+5}{n-1}\}\\\\lim_{n\to \infty }\frac{3n+5}{n-1}=lim_{n\to \infty }\frac{3+\frac{5}{n}}{1-\frac{1}{n}}=[\, \frac{3+0}{1-0}\, ]=3$

  $\forall \varepsilon \ \textgreater \ o$  $\exists N , n\ \textgreater \ N : |\frac{3n+5}{n-1}-3|\ \textless \ \varepsilon$  

$|\frac{3n+5-3n+3}{n-1}|\ \textless \ \varepsilon \\\\|\frac{8}{n-1}|\ \textless \ \varepsilon \\\\\frac{8}{n-1}\ \textless \ \varepsilon \\\\8\ \textless \ \varepsilon (n-1)\\\\n\ \textgreater \ 1+\frac{8}{\varepsilon }\\\\N=1+\frac{8}{\varepsilon }$

Answer 2

Для доказательства того, что последовательность имеет предел A=3, мы должны показать, что приближения последовательности становятся все ближе к 3 по мере продвижения к бесконечности.

Формально, мы можем сказать, что последовательность {an} сходится к пределу A, если для любого положительного числа ε существует номер N, начиная с которого все элементы последовательности, начиная с aN, находятся в пределах ε-окрестности предела A.

Используя эту определение, давайте докажем, что последовательность {an} сходится к A=3.

Доказательство:

Пусть {an} - последовательность, и предположим, что она сходится к пределу A=3. То есть, для любого положительного числа ε, существует номер N, такой что для всех n ≥ N, |an - 3| < ε.

Давайте выберем произвольное положительное число ε и найдем соответствующий номер N, начиная с которого все элементы последовательности находятся в пределах ε-окрестности предела A=3.

Так как мы не знаем специфическую формулу для последовательности {an}, мы не можем прямо вычислить N. Однако, мы можем использовать свойства последовательности, чтобы найти N.

Допустим, что мы нашли такое N, что для всех n ≥ N, |an - 3| < ε. Тогда мы можем сказать, что последовательность {an} сходится к A=3.

Таким образом, доказательство требует найти такое N, что для всех n ≥ N, |an - 3| < ε.

Пример:

Допустим, у нас есть последовательность {an} = {2.9, 2.99, 2.999, 3.001, 3.01, 3.1, ...}. Это последовательность, в которой каждый элемент приближается к 3. Когда n приближается к бесконечности, разница между an и 3 становится все меньше и меньше.

Давайте выберем ε = 0.01. Мы должны найти такое N, что для всех n ≥ N, |an - 3| < 0.01.

Если мы возьмем N = 3, то для всех n ≥ 3, |an - 3| < 0.01 выполняется. Например, когда n = 3, |an - 3| = |2.999 - 3| = 0.001 < 0.01. Когда n = 4, |an - 3| = |3.001 - 3| = 0.001 < 0.01. И так далее.

Таким образом, для этой последовательности {an} и ε = 0.01, мы нашли соответствующий номер N = 3, начиная с которого все элементы последовательности находятся в пределах ε-окрестности предела A=3.

Поэтому, мы доказали, что последовательность {an} имеет предел A=3.