Question

Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії,якщо b(4)=6. b(9)=192

Answer 1

$b_{4}=b_{1}*q^{3}\\b_{9}=b_{1}*q^8\\ \left \{ {{6=b_{1}*q^{3}} \atop {192=b_{1}*q^8}} \right.$
Разделим второе уравнение на первое
$\left \{ {{6=b_{1}*q^3} \atop {32=q^5}} \right. \left \{ {{6=b_{1}*q^3} \atop { \sqrt[5]{32}=q} \right. \left \{ {{6=b_{1}*q^3} \atop { 2=q} \right.\left \{ {{6=b_{1}*2^3} \atop { 2=q} \right.\left \{ {{6=b_{1}*8} \atop { 2=q} \right.\left \{ {{\frac{6}{8}=b_{1}} \atop { 2=q} \right.\left \{ {{b_{1}=\frac{3}{4}} \atop { q=2} \right.$
$S_{6}=\frac{b_{1}(1-q^6)}{1-q}=\frac{\frac{3}{4}(1-2^6)}{1-2}=\frac{\frac{3}{4}(1-64)}{-1}=\frac{\frac{3}{4}(-63)}{-1}=\frac{\frac{3*(-63)}{4}}{-1}=\frac{3*(-63)}{-1*4}=\\\\=\frac{-189}{-4}=47\frac{1}{4}$
Ответ: сумма первых шести членов равна $47\frac{1}{4}$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку знайдемо перший член геометричної прогресії (b₁) та знаменник (q).

За відомими умовами задачі, маємо: b(4) = 6, b(9) = 192.

Загальна формула для n-го члена геометричної прогресії виглядає так: b(n) = b₁ * q^(n-1),

де b(n) - n-й член прогресії, b₁ - перший член прогресії, q - знаменник, n - номер члена прогресії.

Підставимо в цю формулу значення з умов задачі: b(4) = b₁ * q^(4-1) = 6, b(9) = b₁ * q^(9-1) = 192.

Розділимо друге рівняння на перше, щоб виключити b₁: (b₁ * q^(9-1))/(b₁ * q^(4-1)) = 192/6, q^8/q^3 = 32.

Застосуємо властивість степенів з однаковими основами: q^(8-3) = 32, q^5 = 32.

Використовуючи властивість степеня як логарифму, отримаємо: 5 * log(q) = log(32), log(q) = log(32)/5.

Застосуємо обернену функцію до логарифма, щоб знайти значення q: q = 10^(log(32)/5).

Обчислимо це значення: q ≈ 1.7411011265922482.

Тепер, коли ми знаємо значення знаменника q, можемо знайти перший член прогресії b₁. Підставимо значення q в одне з рівнянь задачі: b(4) = b₁ * q^(4-1) = 6, b₁ * q^3 = 6, b₁ = 6/q^3, b₁ ≈ 0.936480474760739.

Тепер ми можемо знайти суму шести перших членів прогресії. Використовуємо формулу для суми n перших членів геометричної прогресії: Sₙ = b₁ * (1 - q^n)/(1 - q).

Підставимо в цю формулу відповідні значення: S₆ = 0.936480474760739 * (1 - q^6)/(1 - q).

Обчислимо це значення: S₆ ≈ 6.227070955070052.

Таким чином, сума шести перших членів геометричної прогресії дорівнює приблизно 6.227070955070052.