Question

Найдите первообразную 1/x√x- 2/x²

Answer 1

F(x) = x^-3/2 - 2x^-2
F(x) = x^-1/2 : (-1/2) - 2х^-1 :(-1)= - 2/√x + 1/х + С

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции 1/x√x - 2/x², мы можем использовать метод интегрирования по частям и замену переменной. Давайте начнем с интегрирования по частям.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям используется для интегрирования произведения двух функций. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u и v - выбранные функции, u' - производная функции u по x.

Для данной функции мы можем выбрать: u = 1/√x, v = 1/x - 2/x².

Тогда: u' = -1/(2x√x), v' = -1/x² + 4/x³.

Подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫(1/x√x - 2/x²) dx = (1/√x) * ∫(1/x - 2/x²) dx - ∫(-1/(2x√x) * ∫(1/x - 2/x²) dx) dx.

Интегрирование ∫(1/x - 2/x²) dx

Давайте рассмотрим первый интеграл в этом уравнении:

∫(1/x - 2/x²) dx.

Это можно разделить на два интеграла:

∫(1/x) dx - 2 * ∫(1/x²) dx.

Первый интеграл просто равен ln|x| + C1, где C1 - константа интегрирования.

Второй интеграл можно интегрировать следующим образом:

∫(1/x²) dx = ∫x^(-2) dx = -x^(-1) + C2, где C2 - константа интегрирования.

Теперь вернемся к формуле интегрирования по частям и подставим найденные интегралы:

∫(1/x√x - 2/x²) dx = (1/√x) * (ln|x| + C1) - ∫(-1/(2x√x) * (-x^(-1) + C2)) dx.

Замена переменной

Давайте выполним замену переменной для второго интеграла. Пусть t = √x, тогда dt = (1/2√x) dx.

Используя это, мы можем переписать второй интеграл следующим образом:

∫(-1/(2x√x) * (-x^(-1) + C2)) dx = ∫(-1/t * (-t^(-2) + C2)) 2t dt.

Упростим это выражение:

∫(-1/t * (-t^(-2) + C2)) 2t dt = ∫(t^(-1) + 2C2) dt = ln|t| + 2C2 = ln|√x| + 2C2.

Теперь подставим это обратно в нашу формулу интегрирования по частям:

∫(1/x√x - 2/x²) dx = (1/√x) * (ln|x| + C1) - (ln|√x| + 2C2).

Упростим это выражение:

(1/√x) * (ln|x| + C1) - (ln|√x| + 2C2) = (1/√x) * ln|x| - ln|√x| + C1 - 2C2.

Ответ

Таким образом, первообразная функции 1/x√x - 2/x² равна:

(1/√x) * ln|x| - ln|√x| + C,

где C = C1 - 2C2 является константой интегрирования.