Question

Сумма первых четырех членов ар.прогрессии равна 124, а сумма ее четрех последних ее членов 156. Сколько членов в этой ар.прогрессии,если извесно, что сумма их равна 350?

Answer 1

A1 = a1 
a2 = a1 + d 
a3 = a1 + 2d 
a4 = a1 + 3d 
Складываем: a1 + a2 + a3 + a4 = 4a1 + 6d = 124 => 2a1 + 3d = 62 
Аналогично для 4-х крайних членов: 
a(n-3) = a1 + (n-4)d 
a(n-2) = a1 + (n-3)d 
a(n-1) = a1 + (n-2)d 
an = a1 + (n-1)d 
складываем: a(n-3) + a(n-2) + a(n-1) + an = 4a1 + 4dn - 10d = 156 => 2a1 + 2dn - 5d = 78 
Получаем систему уравнений: 
2a1 + 3d = 62 
2a1 + 2dn - 5d = 78 
вычтем из 2-го 1-ое 
2dn -8d = 16 dn - 4d = 8 d = 8/(n-4) 
2a1 + 3d = 62 2a1 + 3d = 62 2a1 + 24(n-4) = 62 
a1 = 0.5(62 - 24/(n-4)) = 0.5(62n - 272)/(n-4) = (31n - 136)/(n-4) 
Sn = 0.5(2a1 + (n-1))n = (a1 + 0.5(n-1)d)n = ((31n - 136)/(n-4) + 0.5[8n/(n-4) - 8/(n-4)])n = ((31n - 136)/(n-4) + 4n/(n-4) + 4/(n-4))n = n(35n - 140)/(n-4) = 350 
n(7n - 28)/(n-4) = 70 
7n^2 - 28n = 70n - 280 
7n^2 - 98n + 280 = 0 
n^2 - 14n + 40 = 0 
По теореме Виета видим корни: 
n1 = 4, n2 = 10 
Ну 1-й корень не подходит так как у нас по условию членов минимум восемь. Поэтому ответ 10. 
У данной прогрессии 10 членов.

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а разность между членами равна d.

Тогда сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна: S1 = 4a + 6d = 124 (1)

Сумма последних четырех членов арифметической прогрессии равна: S2 = (a + 3d) + (a + 4d) + (a + 5d) + (a + 6d) = 156 (2)

Также известно, что сумма всех членов арифметической прогрессии равна 350: S3 = (a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d) = 350 (3)

Где n - количество членов в арифметической прогрессии.

Решим систему уравнений (1), (2) и (3) относительно a, d и n.

Из уравнения (1) найдем a: 4a + 6d = 124 a = (124 - 6d) / 4 = 31 - (3/2)d

Подставим a в уравнение (2): (a + 3d) + (a + 4d) + (a + 5d) + (a + 6d) = 156 4a + 18d = 156 31 - (3/2)d + 18d = 156 (33/2)d = 125 d = 250/33

Теперь найдем n, подставив a и d в уравнение (3): (a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d) = 350 (31 - (3/2)d + (31 - (3/2)d + d) + (31 - (3/2)d + 2d) + ... + (31 - (3/2)d + (n-1)d) = 350 (31 - (3/2)d)n + d(1 + 2 + ... + (n-1)) = 350 (31 - (3/2)d)n + d(n(n-1)/2) = 350

Решим это уравнение численно или графически, чтобы найти значение n.