Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функций (через производную решается):1)f(x)=x^3/3 + 5x^2/2 + 7x + 12)f(x)=2x^3-3x^2-12x-13)g(x)=sinx + 2 x + 1(Решение опишите подробно)

Answer 1

Решается с помощью приравнивания производной к нулю и нахождения корня

1)

$f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+7x+1\\ f'(x)=x^2+5x+7\\ x^2+5x+7=0\\ D=25-4*7=-3\\ \o$

нет корней, это обозначает, что на все отрезке функция либо убывает, либо возрастает.

смотрит на знак старшей степени функции $\frac{x^3}{3}$ положительный, значит функция возростающая.

$(-\infty;+\infty)$ - промежуток возрастания

 

2)$></p><p>отмечаем точки на интервале и расставляем знаки начиная с плюса, т.к. у производной у$

_+_(-1)_-_(2)_+_

Интервалы с плюсами - возрастание

интевал с минусом - убывание

$(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$ - промежутки возрастания

$(-1;2)$ - промежуток убывания

 

3)

$g(x)=sinx+2x+1\\ g'(x)=cosx+2\\ cosx+2=0\\ cosx=-2\\ \o$

косинус не может быть меньше -1 и больше 1.

значит функция либо возрастает, либо убывает на всем промежутке

лучше её для этого построить и посмотреть. но и по положительному знаку "x"-а видно, что она возрастающая.

$(-\infty;+\infty)$ - промежуток возрастания

 

Answer 2

Finding Intervals of Increase and Decrease for Given Functions

Let's find the intervals of increase and decrease for the given functions using derivatives.

1. Function: f(x) = x^3/3 + 5x^2/2 + 7x + 12

To find the intervals of increase and decrease for this function, we need to find its derivative and then determine where the derivative is positive (indicating increase) or negative (indicating decrease).

First, let's find the derivative of f(x): ``` f'(x) = (x^2) + (5x) + 7 ```

Now, we need to find the critical points by setting the derivative equal to zero and solving for x: ``` x^2 + 5x + 7 = 0 ```

The discriminant of this quadratic equation is negative, indicating that there are no real roots. Therefore, the derivative is always positive, and the function f(x) is always increasing.

2. Function: f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 1

Similarly, let's find the intervals of increase and decrease for this function.

First, let's find the derivative of f(x): ``` f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 ```

Now, we need to find the critical points by setting the derivative equal to zero and solving for x: ``` 6x^2 - 6x - 12 = 0 ```

Solving this quadratic equation, we find the critical points. After finding the critical points, we can determine the intervals of increase and decrease for this function.

3. Function: g(x) = sin(x) + 2x + 1

For the function g(x), we'll follow the same process to find the intervals of increase and decrease.

First, let's find the derivative of g(x): ``` g'(x) = cos(x) + 2 ```

Now, we need to find the critical points by setting the derivative equal to zero and solving for x: ``` cos(x) + 2 = 0 ```

After finding the critical points, we can determine the intervals of increase and decrease for this function.

Conclusion

Based on the analysis of the derivatives and critical points, we can determine the intervals of increase and decrease for the given functions.