Question

Исследовать экстремумы на функции1.y=x^3-6x^22.y=x^4-4x^33.y=x^3/3+x^2-3x+54.y=2x^3-9x^2-60x+15.y=x^4+2x^2+1

Answer 1

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции.
 Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума,
а если максимум — точкой максимума.

А теперь решение:

1) 
$\displaystyle y=x^3-6x^2$

необходимое условие экстремума функции одной переменной- в этой точке первая производная функции должна обращаться в нуль. 

Найдем производную
$\displaystyle y`=(x^3-6x^2)`=3x^2-12x$

приравняем ее к нулю

$\displaystyle 3x^2-12=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0; x_2=4$

 у нас две точки экстремума. Определим теперь какие это точки (максимума или минимума)

- Точка  x₀ называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений  данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≤f(x₀)
 - Точка x₀ называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений  данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≥f(x₀)

Как это выглядит на решении?

нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки- экстремумы и проверим знак производной на полученных интервалах:

   +           -                  +
------- 0 ------------ 4 -----------

Значит на промежутке (-оо;0) функция возрастает 
на промежутке (0;4) - убывает
на промежутке (4;+оо) - возрастает

Значит х=0 точка максимума
значит х=4 точка минимума

Значение функции в точке х=0
$\displaystyle y(0)=0$ - максимальное значение

значение функции в точке х=4
$\displaystyle y(4)=4^3-6*4^2=64-96=-32$ -минимальное значение

Далее решает по аналогии

2) 
$\displaystyle y=x^4-4x^3$

найдем точки экстремума

$\displaystyle y`=(x^4-4x^3)`=4x^3-12x^2$

$\displaystyle 4x^3-12x^2=0\\4x^2(x-3)=0\\x_1=0; x_2=3$

  +          -               +
----- 0 --------- 3 ------------
 на промежутке (-оо;0) и (3;+оо) - возрастает
на промежутке (0;3) убывает

х=0 точка максимума $\displaystyle y(0)=0$ максимальное значение функции
х=3 точка минимума $\displaystyle y(3)=3^4-4*3^3=81-108=-27$ минимальное значение функции

3) 
$\displaystyle y= \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5$

$\displaystyle y`=( \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5)`=x^2+2x-3$

$\displaystyle y`=0\\x^2+2x-3=0\\D=4+12=16=4^2\\x_1=1: x_2=-3$

   +              -               +
------  - 3  -------  1 ----------

на промежутке (-00;-3) и (1;+оо) возрастает
на промежутке (-3;1) убывает

х= -3 точка максимума
$\displaystyle y(-3)= \frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-3*(-3)+5=-9+9+9+5=14$
минимальное значение

x=1 точка минимума
$\displaystyle y(1)= \frac{1}{3}+1-3+5= 3 \frac{1}{3}$ минимальное значение

4) 
$\displaystyle y=2x^3-9x^2-60x+1$

$\displaystyle y`=(2x^3-9x^2-60x+1)`=6x^2-18x-60$

$\displaystyle y`=0\\ 6x^2-18x-60=0\\6(x^2-3x-10)=0\\D=9+40=49=7^2\\x_1=-2; x_2=5$

    +              -          +
------- - 2 -------- 5 --------
на промежутке (-оо;-2) и (5;+оо) возрастает
на промежутке (-2;5) убывает

точка х=-2 точка максимума
$\displaystyle y(-2)=2*(-2)^3-9*(-2)^2-60*(-2)+1=69$
максимальное значение

точка х=5 точка минимума
$\displaystyle y(5)=2*5^3-9*5^2-60*5+1=250-225-300+1=-274$
минимальное значение

5)
$\displaystyle y=x^4+2x^2+1$

$\displaystyle y`=(x^4+2x^2+1)`=4x^3+4x$

$\displaystyle y`=0\\4x^3+4x=0\\4x(x^2+1)=0\\x=0$

       -                       +
-------------- 0 ----------------
на промежутке (-оо;0) убывает
на промежутке (0;+оо) возрастает

x=0 точка минимума

$\displaystyle y(0)=1$
минимальное значение функции

Answer 2

1. Функция y = x^3 - 6x^2 имеет экстремумы в точках, где её производная равна нулю. Найдем производную функции:

y' = 3x^2 - 12x

Чтобы найти экстремумы, приравняем производную к нулю:

3x^2 - 12x = 0

Факторизуем это уравнение:

3x(x - 4) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 4. Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 0, y = (0)^3 - 6(0)^2 = 0. При x = 4, y = (4)^3 - 6(4)^2 = -32.

Таким образом, функция имеет экстремумы в точках (0, 0) и (4, -32).

2. Функция y = x^4 - 4x^3 имеет экстремумы в точках, где её производная равна нулю. Найдем производную функции:

y' = 4x^3 - 12x^2

Приравняем производную к нулю:

4x^3 - 12x^2 = 0

Факторизуем это уравнение:

4x^2(x - 3) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 3. Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 0, y = (0)^4 - 4(0)^3 = 0. При x = 3, y = (3)^4 - 4(3)^3 = -27.

Таким образом, функция имеет экстремумы в точках (0, 0) и (3, -27).

3. Функция y = (1/3)x^3 + x^2 - 3x + 5 не имеет экстремумов, так как её производная не обращается в ноль на всей области определения.

4. Функция y = 2x^3 - 9x^2 - 60x + 15 имеет экстремумы в точках, где её производная равна нулю. Найдем производную функции:

y' = 6x^2 - 18x - 60

Приравняем производную к нулю:

6x^2 - 18x - 60 = 0

Факторизуем это уравнение:

6(x^2 - 3x - 10) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = -2 и x = 5. Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = -2, y = 2(-2)^3 - 9(-2)^2 - 60(-2) + 15 = 119. При x = 5, y = 2(5)^3 - 9(5)^2 - 60(5) + 15 = -100.

Таким образом, функция имеет экстремумы в точках (-2, 119) и (5, -100).

5. Функция y = x^4 + 2x^2 + 1 не имеет экстремумов, так как её производная не обращается в ноль на всей области определения.