Question

F (x)=sin5x-x найти общий вид первообразной

Answer 1

$\int\limits {(sin5x-x)} \, dx = \int\limits {sin5x} \, dx- \int\limits {x} \, dx = \\ \\ =- \frac{1}{5}cos5x- \frac{x^2}{2}+C$

Answer 2

Для функции F(x) = sin(5x) - x, чтобы найти ее первообразную, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна F'(x) = sin(5x) - x.

Чтобы найти первообразную, мы должны интегрировать функцию F'(x). Для этого мы будем использовать метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на следующей формуле: ∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ u' * (∫ v dx) dx, где u и v - функции, а u' и ∫ v dx - их производные.

Применим эту формулу к нашей функции F'(x): F(x) = ∫ (sin(5x) - x) dx

Выберем u = x и v' = sin(5x), тогда u' = 1 и ∫ v dx = -1/5 * cos(5x).

Теперь мы можем выразить первообразную F(x): F(x) = x * (-1/5 * cos(5x)) - ∫ 1 * (-1/5 * cos(5x)) dx = -x/5 * cos(5x) + 1/5 * ∫ cos(5x) dx.

Для интегрирования функции ∫ cos(5x) dx мы можем использовать формулу интегрирования синуса: ∫ cos(ax) dx = 1/a * sin(ax) + C, где a - константа.

Применяя эту формулу, мы получаем: F(x) = -x/5 * cos(5x) + 1/5 * (1/5 * sin(5x)) = -x/5 * cos(5x) + 1/25 * sin(5x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной функции F(x) = sin(5x) - x равен: F(x) = -x/5 * cos(5x) + 1/25 * sin(5x) + C, где C - произвольная постоянная.