Question

Помогите решить неравенство. а) б)

Answer 1

V - знак корня
1) V(3x+1) + V(x-4) - V(4x+5) <0
ОДЗ:
{3x+1>=0;  x>=-1/3
{x-4>=0;  x>=4
{4x+5>=0; x>=-5/4
x e [4; + беск.)
V(3x+1)+V(x-4)<V(4x+5)
Возведем обе части неравенства в квадрат:
3x+1+2V(3x+1)(x-4)  + x-4< 4x+5
4x-3+2V(3x+1)(x-4) < 4x+5
2V(3x+1)(x-4) < 4x+5-4x+3
2V(3x+1)(x-4) <8
V(3x+1)(x-4) <4
Снова возведем обе части неравенства в квадрат:
(3x+1)(x-4) <16
3x^2-12x+x-4 -16<0
3x^2-11x-20<0
3x^2-11x-20=0
D=(-11)^2-4*3*(-20)= 361
x1=(11-19)/6=-4/3
x2=(11+19)/6=5

______+_____(-4/3)___-______(5)____+____
                               /////////////////////
x e (-4/3; 5)
С учетом ОДЗ: x e [4; 5)

2)V(x^2-4x) > x-3
Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
{x-3<0                      {x-3>=0
{x^2-4x>=0               {x^2-4x>(x-3)^2
Решим первую систему совокупности:
{x<3
{x(x-4)>=0
_____________(3)____________
///////////////////////////
____+____(0)______-______(4)_+___
/////////////////////                              //////////////
x e (-беск.; 0)
Решим вторую систему  совокупности:
{x>=3
{x^2-4x>x^2-6x+9; x^2-4x-x^2+6x-9>0; 2x>9; x>4,5
_________[3]__________
                   ///////////////////////
______________(4,5)____
                               ////////////
x e (4,5; + беск.)
Ответ: x e (-беск.;0) U (4,5; + беск.)

Answer 2

Решение неравенства а)

Дано неравенство: \(log_3^2x-10log_3x\geq-21\).

Для начала, заметим, что неравенство содержит логарифмы. Чтобы решить его, мы можем использовать свойства логарифмов и преобразовать его в эквивалентное уравнение.

Давайте рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности.

1. \(log_3^2x\) - это квадрат логарифма \(log_3x\). 2. \(10log_3x\) - это произведение числа 10 и логарифма \(log_3x\).

Теперь мы можем преобразовать неравенство следующим образом:

\[log_3^2x-10log_3x\geq-21\]

\[log_3x\cdot log_3x-10\cdot log_3x\geq-21\]

Давайте введем новую переменную, чтобы упростить запись. Пусть \(t=log_3x\). Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[t^2-10t\geq-21\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить. Для этого нам нужно найти значения переменной \(t\), для которых неравенство выполняется.

Давайте решим это квадратное уравнение:

\[t^2-10t\geq-21\]

Для начала, перенесем все члены в левую часть:

\[t^2-10t+21\geq0\]

Теперь мы можем факторизовать это квадратное уравнение:

\[(t-3)(t-7)\geq0\]

Теперь мы можем использовать метод интервалов для определения значений переменной \(t\), для которых неравенство выполняется.

Мы видим, что когда \(t<3\) или \(t>7\), выражение \((t-3)(t-7)\) будет положительным. Когда \(3\leq t\leq7\), выражение \((t-3)(t-7)\) будет отрицательным.

Теперь давайте вернемся к нашей исходной переменной \(x\). Мы знаем, что \(t=log_3x\). Таким образом, когда \(t<3\) или \(t>7\), \(log_3x\) будет положительным. Когда \(3\leq t\leq7\), \(log_3x\) будет отрицательным.

Теперь давайте рассмотрим условие \(x>0\). Это означает, что переменная \(x\) должна быть положительной.

Таким образом, решение неравенства \(log_3^2x-10log_3x\geq-21\) состоит из двух частей:

1. Когда \(x>0\) и \(log_3x<3\). 2. Когда \(x>0\) и \(log_3x>7\).

Решение неравенства б)

Дано неравенство: \(ax^2+bx+c\geq0\).

Для решения этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов.

Давайте рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности.

1. \(ax^2\) - это квадратный член. 2. \(bx\) - это линейный член. 3. \(c\) - это свободный член.

Теперь мы можем преобразовать неравенство следующим образом:

\[ax^2+bx+c\geq0\]

Для решения этого неравенства, мы можем использовать дискриминант квадратного уравнения \(ax^2+bx+c\) для определения значений переменной \(x\), для которых неравенство выполняется.

Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2+bx+c\) определяется следующим образом: \(D=b^2-4ac\).

Теперь мы можем использовать значения дискриминанта для определения значений переменной \(x\), для которых неравенство выполняется.

1. Если \(D>0\), то неравенство \(ax^2+bx+c\geq0\) выполняется для всех значений переменной \(x\). 2. Если \(D=0\), то неравенство \(ax^2+bx+c\geq0\) выполняется для всех значений переменной \(x\), кроме одной точки. 3. Если \(D<0\), то неравенство \(ax^2+bx+c\geq0\) не выполняется ни для каких значений переменной \(x\).

Таким образом, решение неравенства \(ax^2+bx+c\geq0\) зависит от значения дискриминанта \(D\).

Надеюсь, это поможет вам решить данные неравенства. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.