Question

Тема простейшие показательные неравенства. Помогите пожалуйста:) а) 2^x>4 б) 5^x<125 в) 81*3^x>1 г) 27*3^x<1

Answer 1

а) 2^x>2^2

x>2

x Є (2; +бесконечности)

б) 5^x<5^3

x<3

x Є (-бесконечности;3)

в) 3^x>1/81

3^x>3^-4

x>-4

x Є (-4; + бесконечности)

г) 3^x<1/27

3^x<3^-3

x<-3

x Є (-бесконечности, -3)

Answer 2

Простейшие показательные неравенства

Прежде чем приступить к решению данных показательных неравенств, давайте вспомним некоторые свойства степеней:

1. Если $a > 1$, то $a^x > a^y$, если $x > y$. 2. Если $0 < a < 1$, то $a^x > a^y$, если $x < y$. 3. Если $a > 1$, то $a^x < a^y$, если $x < y$. 4. Если $0 < a < 1$, то $a^x < a^y$, если $x > y$.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных неравенств по отдельности:

а) $2^x > 4$

Поскольку $4 = 2^2$, мы можем переписать это неравенство в виде $2^x > 2^2$. Используя свойства степеней, мы знаем, что это неравенство будет выполняться, если $x > 2$.

б) $5^x < 125$

Здесь нам нужно представить 125 как степень числа 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$. Таким образом, неравенство можно переписать в виде $5^x < 5^3$. Используя свойства степеней, мы видим, что неравенство будет выполняться, если $x < 3$.

в) $81 \cdot 3^x > 1$

Мы видим, что $81 = 3^4$. Теперь мы можем переписать неравенство в виде $3^4 \cdot 3^x > 1$. Используя свойства степеней, мы можем объединить степени: $3^{4+x} > 1$. Поскольку $3^0 = 1$, неравенство будет выполняться для любого значения $x$, которое больше или равно $-4$.

г) $27 \cdot 3^x < 1$

Аналогично предыдущему примеру, мы видим, что $27 = 3^3$. Мы можем переписать неравенство в виде $3^3 \cdot 3^x < 1$, или $3^{3+x} < 1$. Поскольку $3^0 = 1$, неравенство будет выполняться, если $3+x < 0$, то есть $x < -3$.

Таким образом, решения для данных показательных неравенств следующие:

а) $x > 2$ б) $x < 3$ в) $x \geq -4$ г) $x < -3$

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.