Question

Найти площадь фигуры ограниченную линиями y=x/ (x-3); y=x; x=-2

Answer 1

Выделим целую часть у=1+3\х-3 и построим график . Графиком будет гипербола с асимптотами х=3 вертикальной и у=1 горизонтальной Затем построим у=х это биссектриса первого и третьего координатных углов и третий график х=-2. Фигура будет ограничена двумя графиками у=х\х-3 у=х х=-2 Пределы интегрирования от -2 до 0 Найдём сначала площадь верхней части это интеграл от -2 до 0 от суммы 1+3\х-3 по де х интеграл будет равен х+3Ln I x-3I на промежутке от -2 до 0 получим 0+3 Ln3 -(-2) -3Ln5=2+3(Ln3+Ln5)=2+3Ln15. Найдём площадь треугольника прямоугольного с катетами 2и 2 площадь будет 2*2\2=2 Ну а теперь площадь всей фигуры 4+3Ln15

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x/(x-3), y = x и x = -2, мы можем воспользоваться методом интегрирования.

Первым шагом мы должны найти точки пересечения этих линий. Для этого приравняем уравнения друг к другу:

y = x/(x-3) и y = x

Подставим второе уравнение в первое:

x = x/(x-3)

Упростим это уравнение:

x(x-3) = x

Раскроем скобки:

x^2 - 3x = x

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - 4x = 0

Факторизуем:

x(x - 4) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 4.

Теперь мы можем найти площадь фигуры. Поскольку график функции y = x/(x-3) находится под графиком функции y = x в интервале от x = 0 до x = 4, мы можем вычислить следующий интеграл:

S = ∫[0, 4] (x - x/(x-3)) dx

Раскроем скобки:

S = ∫[0, 4] (x - (x^2)/(x-3)) dx

Разделим интеграл на две части:

S = ∫[0, 4] x dx - ∫[0, 4] (x^2)/(x-3) dx

Вычислим первый интеграл:

S1 = ∫[0, 4] x dx = (x^2)/2 | [0, 4] = (4^2)/2 - (0^2)/2 = 8

Для вычисления второго интеграла нам потребуется использовать метод частных дробей. Разложим дробь на простые дроби:

(x^2)/(x-3) = A(x-3) + B

x^2 = A(x-3) + B(x-3)

Подставим x = 3:

9 = -3A

A = -3

Подставим x = 0:

0 = -3A - 3B

B = A/3 = -1

Теперь мы можем рассчитать второй интеграл:

S2 = ∫[0, 4] (x^2)/(x-3) dx = ∫[0, 4] (-3/(x-3)) dx - ∫[0, 4] (1) dx

S2 = -3ln|x-3| | [0, 4] - x | [0, 4] = -3ln(1) - (4-0) = 0 - 4 = -4

Теперь найдем площадь фигуры:

S = S1 - S2 = 8 - (-4) = 12

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x/(x-3), y = x и x = -2, составляет 12 единиц площади.