Question

Прошу, помогите, пожалуйста, решить эти неравенства!!!! 1) sin3x>sin5x 2) arcsinx

Answer 1

1) sin 3x - sin 5x > 0
По формуле разности синусов
$2sin \frac{3x-5x}{2}*cos \frac{3x+5x}{2}\ \textgreater \ 0$
2sin(-x)*cos(4x) > 0
-2sin x*cos(4x) > 0
Делим на -2, при этом знак неравенства меняется.
sin x*cos(4x) < 0
Два варианта. Множители должны иметь разные знаки.
a)
{ sin x < 0
{ cos(4x) > 0
Решаем неравенства
{ x ∈ (-pi+2pi*k; 2pi*k)
{ 4x ∈ (-pi/2+2pi*k; pi/2+2pi*k); x ∈ (-pi/8+pi/2*k; pi/8+pi/2*k)
Решение 2 неравенства я показал на рисунке. Это жирные дуги.
Пересечение неравенств - это нижняя часть круга, где sin x < 0
x ∈ (-pi+2pi*k; -7pi/8+2pi*k) U (-5pi/8+2pi*k; -3pi/8+2pi*k) U (-pi/8+2pi*k; 2pi*k)

б)
{ sin x > 0
{ cos(4x) < 0
Решаем неравенства
{ x ∈ (2pi*k; pi+2pi*k)
{ 4x ∈ (pi/2+2pi*k; 3pi/2+2pi*k); x ∈ (pi/8+pi/2*k; 3pi/8+pi/2*k)
Решение 2 неравенства - это нежирные дуги на том же рисунке.
Пересечение неравенств - это верхняя часть круга, где sin x > 0
x ∈ (pi/8+2pi*k; 3pi/8+2pi*k) U (5pi/8+2pi*k; 7pi/8+2pi*k)

2) Про arcsin x - а где неравенство?

Answer 2

Конечно! Я помогу вам решить эти неравенства.

1) sin(3x) > sin(5x):

Для решения этого неравенства, мы можем использовать свойства синуса. Сначала найдём интервалы, на которых синус является положительным или отрицательным.

Синус положителен, когда его значение находится между 0 и π, а отрицателен, когда значение находится между -π и 0.

Давайте разобъём это неравенство на два случая:

а) sin(3x) > sin(5x) на интервале [0, π]:

На этом интервале синус является положительным, поэтому неравенство остаётся неизменным:

sin(3x) > sin(5x)

б) sin(3x) > sin(5x) на интервале [-π, 0]:

На этом интервале синус является отрицательным. Чтобы сохранить неравенство, мы должны изменить его направление, умножив обе части неравенства на -1:

sin(3x) < sin(5x)

Теперь рассмотрим каждый из случаев более подробно:

а) sin(3x) > sin(5x) на интервале [0, π]:

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод сравнения аргументов синуса на интервале [0, π]. Для этого мы сравним аргументы синусов:

3x > 5x

Теперь вычтем 3x из обеих частей неравенства:

0 > 2x

Разделим обе части неравенства на 2:

0 > x

Таким образом, на интервале [0, π] решением неравенства sin(3x) > sin(5x) является x < 0.

б) sin(3x) < sin(5x) на интервале [-π, 0]:

Аналогично предыдущему случаю, мы сравним аргументы синусов:

3x < 5x

Вычтем 3x из обеих частей неравенства:

0 < 2x

Разделим обе части неравенства на 2:

0 < x

Таким образом, на интервале [-π, 0] решением неравенства sin(3x) < sin(5x) является x > 0.

Итак, решением исходного неравенства sin(3x) > sin(5x) является x < 0 на интервале [0, π] и x > 0 на интервале [-π, 0].

2) arcsin(x):

Неравенство arcsin(x) не задано. Функция arcsin(x) определена только для значений x, принадлежащих интервалу [-1, 1]. Если вы имели в виду неравенство arcsin(x) > 0, то это означает, что x должно быть положительным и находиться в интервале (0, 1].

Примечание: Решение неравенств может быть сложным и требовать более подробного рассмотрения. Это решение основано на базовых свойствах синуса и арксинуса, но рекомендуется проверить решение и применить другие методы подтверждения, если это необходимо.