Question

Решить пример : x⁴ = - 20

Answer 1

Это нереально!!! если число возводится в четную степень то отве всегда положительный, а тут - 20, соответственно : корней нет!!

Answer 2

Чтобы решить уравнение x⁴ = -20, давайте разберемся сначала с левой стороной уравнения.

Корень четвертой степени из любого числа всегда будет положительным, поэтому уравнение x⁴ = -20 не имеет действительных корней.

Тем не менее, мы можем рассмотреть комплексные корни. Для этого вводится понятие комплексных чисел. Комплексное число представляется в виде a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, которая определяется как квадратный корень из -1.

Мы можем записать -20 в виде комплексного числа, используя 0 для действительной части и -20 для мнимой части: -20 = 0 - 20i.

Теперь мы можем решить уравнение x⁴ = 0 - 20i. Чтобы найти корни этого уравнения, мы должны найти четвертые корни из -20i.

Для этого используем формулу для нахождения корней n-й степени из комплексного числа z:

z^(1/n) = r^(1/n) * (cos(theta/n) + i * sin(theta/n))

где r - модуль числа z, theta - аргумент числа z, и i - мнимая единица.

В нашем случае, модуль числа -20i равен |z| = sqrt(0^2 + (-20)^2) = 20, а аргумент равен theta = arctan(-20/0) = -π/2.

Таким образом, мы можем записать корни уравнения x⁴ = -20 в виде:

x₁ = 20^(1/4) * (cos(-π/2) + i * sin(-π/2)) x₂ = 20^(1/4) * (cos(-π/2 + 2π/4) + i * sin(-π/2 + 2π/4)) x₃ = 20^(1/4) * (cos(-π/2 + 4π/4) + i * sin(-π/2 + 4π/4)) x₄ = 20^(1/4) * (cos(-π/2 + 6π/4) + i * sin(-π/2 + 6π/4))

Теперь мы можем вычислить значения каждого из корней, используя тригонометрические функции и извлечение корня:

x₁ = 20^(1/4) * (cos(-π/2) + i * sin(-π/2)) = 20^(1/4) * (0 + i * (-1)) = 20^(1/4) * (-i)

x₂ = 20^(1/4) * (cos(-π/2 + 2π/4) + i * sin(-π/2 + 2π/4)) = 20^(1/4) * (cos(π/4) + i * sin(π/4)) = 20^(1/4) * (sqrt(2)/2 + i * sqrt(2)/2) = sqrt(10) + sqrt(10)i

x₃ = 20^(1/4) * (cos(-π/2 + 4π/4) + i * sin(-π/2 + 4π/4)) = 20^(1/4) * (cos(π) + i * sin(π)) = 20^(1/4) * (-1 + 0i) = -20^(1/4)

x₄ = 20^(1/4) * (cos(-π/2 + 6π/4) + i * sin(-π/2 + 6π/4)) = 20^(1/4) * (cos(3π/2) + i * sin(3π/2)) = 20^(1/4) * (0 + i * (-1)) = 20^(1/4) * (-i)

Таким образом, корни уравнения x⁴ = -20 равны: -20^(1/4), -20^(1/4)i, sqrt(10) + sqrt(10)i и -sqrt(10) - sqrt(10)i.