Question

Найдите наименьшее значение выражения: A) (5a-3)(5a+3)+4b(4b-10a) B) 20c^2-24cd+9d^2-20c+28 С решением пожалуйста

Answer 1

Первое тебе уже написали. Пишу второе. (3d-4c)^2+(2c-5)^2+3, значит равно 3

Answer 2

B)=(4c-3d)^2+(2c-5)^2+3

Answer 3

Для начала, найдем значение выражения A и B:

Решение:

Выражение A: \[ (5a-3)(5a+3)+4b(4b-10a) \]

Раскроем скобки: \[ (5a)^2 - (3)^2 + 4b(4b) - 4b(10a) \] \[ 25a^2 - 9 + 16b^2 - 40ab \]

Выражение B: \[ 20c^2-24cd+9d^2-20c+28 \]

Разложим на квадратные биномы: \[ (2c - 3d)^2 - 20c + 28 \]

Теперь найдем наименьшее значение выражения A + B:

\[ \text{Наименьшее значение} = \text{минимальное значение выражения A} + \text{минимальное значение выражения B} \]

Минимальное значение выражения A: \[ \text{Минимальное значение} = \text{минимальное значение квадратичного выражения} = -\frac{D}{4a} \] где D - дискриминант, а a - коэффициент при квадрате переменной.

Для квадратичного выражения \( 25a^2 - 40ab + 16b^2 - 9 \): \[ D = (-40ab)^2 - 4*25*16b^2 \] \[ D = 1600a^2b^2 - 1600b^2 \] \[ D = 1600b^2(a^2 - 1) \]

Так как D зависит от a^2 - 1, то наименьшее значение будет при \( a = 1 \) или \( a = -1 \), поэтому при \( a = 1 \) и \( a = -1 \) дискриминант равен 0.

Теперь найдем минимальное значение выражения B:

Минимальное значение выражения B: Поскольку \( (2c - 3d)^2 \ge 0 \), минимальное значение будет достигаться при \( 2c - 3d = 0 \), что соответствует \( c = \frac{3d}{2} \).

Теперь подставим минимальные значения в общее выражение A + B:

\[ \text{Наименьшее значение} = -\frac{D}{4a} + (2c - 3d)^2 - 20c + 28 \] \[ \text{Наименьшее значение} = 0 + 0 - 20*\frac{3d}{2} + 28 \] \[ \text{Наименьшее значение} = -30d + 28 \]

Таким образом, наименьшее значение выражения \( A + B \) равно \( -30d + 28 \).