Question

Знайти критичні точки функції f(x) = 3x^2 - x^3 . с решением пожалуйста

Answer 1

файл

-------------------------------

Answer 2

$\\f(x) = 3x^2 - x^3\\ f'(x)=6x-3x^2\\ 6x-3x^2=0\\ 3x(2-x)=0\\ x=0 \vee x=2$

Answer 3

Для того чтобы найти критические точки функции f(x) = 3x^2 - x^3, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки являются точками, где функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы) или точки перегиба.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции f(x) = 3x^2 - x^3. Производная функции позволяет нам определить, как функция меняется по мере изменения значения x.

Производная функции f(x) находится путем применения правила дифференцирования к каждому члену функции. В данном случае, мы можем использовать правило степенной функции и правило вычитания:

f'(x) = 2 * 3x^(2-1) - 3 * x^(3-1)

Упрощая это выражение, получим:

f'(x) = 6x - 3x^2

Нахождение критических точек

Теперь, чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение f'(x) = 0. Это означает, что мы ищем значения x, при которых производная функции равна нулю.

6x - 3x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

3x(2 - x) = 0

Теперь мы имеем два возможных случая:

1. 3x = 0 В этом случае x = 0.

2. 2 - x = 0 В этом случае x = 2.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 2.

Проверка типа критических точек

Чтобы определить тип каждой критической точки (максимум, минимум или точка перегиба), мы можем использовать вторую производную функции.

Возьмем вторую производную функции f(x):

f''(x) = 6 - 6x

Теперь мы можем подставить значения x = 0 и x = 2 во вторую производную, чтобы определить тип каждой критической точки.

При x = 0: f''(0) = 6 - 6(0) = 6 Так как вторая производная положительна (f''(0) > 0), то это означает, что у нас есть локальный минимум при x = 0.

При x = 2: f''(2) = 6 - 6(2) = -6 Так как втор