Question

Sin(45-a)/cos(45+a)=1

Answer 1

Sin(45-a) /cos(45+a) =sin 45 cos a-cos 45 sin a/cos 45 cos a - sin 45 sin a=sin √2/2cos a cos √2/2 sin a /cos √2/2 cos a - sin √2/2 sin a =1

Answer 2

Для разрешения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Давайте разберемся подробнее.

Использование тригонометрических тождеств

Мы можем начать с использования тригонометрического тождества для синуса разности двух углов:

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Применим это тождество к исходному уравнению, где A = 45 и B = a:

sin(45 - a) = sin(45)cos(a) - cos(45)sin(a)

Обратите внимание, что sin(45) и cos(45) равны 1/√2 или √2/2.

Заменим их в уравнении:

sin(45 - a) = (√2/2)cos(a) - (1/√2)sin(a)

Разделим на cos(45 + a)

Теперь мы можем разделить обе стороны уравнения на cos(45 + a):

(sin(45 - a))/(cos(45 + a)) = [(√2/2)cos(a) - (1/√2)sin(a)] / cos(45 + a)

Используем тригонометрическое тождество для тангенса разности двух углов

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для тангенса разности двух углов:

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))

Применим это тождество к уравнению, где A = 45 и B = a:

(sin(45 - a))/(cos(45 + a)) = [(√2/2)cos(a) - (1/√2)sin(a)] / cos(45 + a)

Заменим sin(45 - a) и cos(45 + a) на их эквиваленты с помощью тригонометрического тождества:

(tan(45) - tan(a)) / (1 + tan(45)tan(a)) = [(√2/2)cos(a) - (1/√2)sin(a)] / cos(45 + a)

Так как tan(45) = 1, мы можем упростить уравнение:

(1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) = [(√2/2)cos(a) - (1/√2)sin(a)] / cos(45 + a)

Приведение к общему знаменателю

Для удобства решения можно привести обе части уравнения к общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель правой части на √2:

(1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) = [(√2/2)cos(a) - (1/√2)sin(a)] / cos(45 + a) * (√2/√2)

После упрощения получим:

(1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) = [(√2cos(a) - sin(a)) / √2] / cos(45 + a)

Упрощение выражения

Мы можем дальше упростить выражение. Заметим, что √2cos(a) - sin(a) может быть записано как sin(a + π/4):

(1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) = [sin(a + π/4) / √2] / cos(45 + a)

Использование тригонометрического тождества для тангенса суммы двух углов

Применим теперь тригонометрическое тождество для тангенса суммы двух углов:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))

Заменим sin(a + π/4) на tan(a):

(1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) = [tan(a) / √2] / cos(45 + a)

Упростим дальше:

(1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) = tan(a) / (√2 * cos(45 + a))

Разделим числитель и знаменатель на tan(a)

Разделим числитель и знаменатель на tan(a):

(1 - tan(a)) / (1 + tan(a)) = 1 / (√2 * cos(45 + a))

Мы получили, что левая часть равна правой части, т.е. 1 = 1. Таким образом, уравнение выполняется для любого значения угла a.

Подведем итог: Исходное уравнение sin(45 - a) / cos(45 + a) = 1 выполняется для любого значения угла a.