Question

В четырёхугольнике ABCD на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении 1:4, считая от вершин B и D. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма

Answer 1

обозначим точку на стороне AB за B1, на стороне BC за B2, на стороне DC - D2 и на стороне DA - D1

 

тогда BB1/BA=1/5 BB2/BC=1/5 => треугольник BB1B2 подобен треугольнику BAC по двум сторонам и углу(общий угол B)=> углы BB1B2 и BAC равны, аналогично равны углы BB2B1 и  BCA => прямая B1B2 || прямой AC(диагонали)

 

аналогично доказывается, что D1D2 || AC => B1B2 || D1D2 по свойству транзитивности

 

аналогично доказывается, что B2D2 || второй диагонали BD, и B1D1 || BD

 

отсюда следует, что в четырехуголнике B1B2D2D1 противоположные стороны параллельны => этот четырехугольник - параллелограмм

 

что и требовалось доказать 

Answer 2

Для доказательства того, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма, мы можем использовать свойства параллелограмма.

Свойства параллелограмма: 1. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине. 2. Противоположные углы параллелограмма равны. 3. Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Давайте приступим к доказательству.

Доказательство:

1. Пусть точки, делящие стороны в отношении 1:4, обозначены как E, F, G и H, как показано на рисунке ниже: ``` B G C *-----*------* / \ E / \ F / \ *---------------------* A D ``` 2. Мы должны доказать, что сторона EF параллельна стороне GH, и сторона GH параллельна стороне CD.

3. Рассмотрим треугольник BGF. Согласно условию, точки E и F делят сторону BG в отношении 1:4. Поэтому, отношение длин сторон BF и FG также будет 1:4. 4. Аналогично, рассмотрим треугольник CGH. Точки G и H делят сторону CH в отношении 1:4. Поэтому, отношение длин сторон GH и HC также будет 1:4.

Таким образом, мы видим, что отношение длин сторон BF и FG в треугольнике BGF совпадает с отношением длин сторон GH и HC в треугольнике CGH.

5. Согласно свойству параллелограмма, если две пары сторон противоположны и равны, то эти стороны параллельны.

Таким образом, мы можем заключить, что сторона EF параллельна стороне GH и сторона GH параллельна стороне CD.

6. Остается доказать, что сторона EF равна стороне GH и сторона GH равна стороне CD.

7. Рассмотрим треугольник BEF и треугольник GCH. Мы уже знаем, что сторона EF параллельна стороне GH, и отношение длин сторон BF и FG совпадает с отношением длин сторон GH и HC.

Таким образом, треугольники BEF и GCH подобны по стороне-стороне.

8. Поэтому, отношение длин сторон EF и GH также будет 1:4.

9. Так как сторона EF параллельна стороне GH и отношение их длин равно 1:4, то сторона EF равна стороне GH.

Аналогично, можно доказать, что сторона GH равна стороне CD.

10. Таким образом, мы видим, что сторона EF равна стороне GH, сторона GH равна стороне CD, и сторона EF параллельна стороне GH, что подтверждает, что отмеченные точки E, F, G и H являются вершинами параллелограмма.

Поздравляю! Мы доказали, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма, используя свойства параллелограмма и доказательство подобия треугольников.