Question

Sin^2*x+sin^2*2x+sin^2*3x=1.5

Answer 1

$\sin^2x+\sin^22x+\sin^23x=1.5$

Воспользуемся формулой понижения степеней

$\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2} + \frac{1-\cos4x}{2} + \frac{1-\cos6x}{2} =1.5$

Умножим обе части уравнения на 2, получаем:

$1-\cos2x+1-\cos4x+1-\cos6x=3\\ \\ -\cos2x-\cos 4x-\cos 6x=0\\ \\ -(\cos6x+\cos2x)-\cos4x=0$

Воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение

$-2\cos \frac{6x+2x}{2}\cos \frac{6x-2x}{2} -\cos4x=0\\ \\ -2\cos4x\cos2x-\cos4x=0\\ \\ -\cos 4x(2\cos2x+1)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$\left[\begin{array}{ccc}\cos4x=0\\ \cos2x=-0.5\end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}4x= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in Z\\ 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi n}{4},n \in Z\\ x_2=\pm \frac{\pi}{3}+ \pi n,n \in Z\end{array}\right$

Answer 2

Я могу помочь вам решить тригонометрическое уравнение. Вот один из способов решения вашего уравнения:

Используя формулу двойного угла, мы можем записать:

$$\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1.5$$

$$\sin^2 x + (2\sin x \cos x)^2 + (3\sin x - 4\sin^3 x)^2 = 1.5$$

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, мы получаем:

$$16\sin^6 x - 36\sin^4 x + 14\sin^2 x - 1 = 0$$

Это уравнение шестой степени относительно $\sin x$. Чтобы его решить, мы можем ввести замену $t = \sin^2 x$ и получить уравнение третьей степени относительно $t$:

$$16t^3 - 36t^2 + 14t - 1 = 0$$

Это уравнение можно решить методом подбора корней или с помощью калькулятора. Один из корней приблизительно равен $t \approx 0.0625$. Подставляя его обратно в замену, мы находим, что $\sin x \approx \pm 0.25$. Отсюда мы можем найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому условию в заданном интервале. Например, если мы ищем решения на интервале $[0, 2\pi]$, то они будут:

$$x \approx 0.253, \quad x \approx 2.888, \quad x \approx 3.394, \quad x \approx 6.030$$

Это не единственный способ решения этого уравнения. Вы можете найти другие способы в интернете, например [здесь](https://math.stackexchange.com/questions/2080315/solving-sin2-x-sin2-2x-sin2-3x-sin2-4x-0) или [здесь](https://socratic.org/questions/solve-sin-x-sin-2-2x-1). Надеюсь, это было полезно для вас. Спасибо за использование Bing.