Question

Разложите многочлен на множители,комбинируя различные способы: 1) a^{3}+ab^{2} +a^{2}b+b^{3}= [/tex]

Answer 1

$a^{3}+ab^{2} +a^{2}b+b^{3}=a^3+a^2b+ab^2+b^3=a^2( a+b)+b^2(a+b)$$=(a^2+b^2)(a+b)$
$m^3+10m+5m^2+8=m^3+8+10m+5m^2=$$(m+2)(m^2-2m+4)+5m(2+m)=(m+2)(m^2-2m+4+5m)=$$(m+2)(m^2+3m+4)$

Answer 2

Для начала, рассмотрим данный многочлен: \[ a^{3} + ab^{2} + a^{2}b + b^{3} \]

Поиск общего множителя

Первый способ, который можно применить, - это поиск общего множителя. В данном многочлене мы видим, что все члены содержат множитель \( a \) и множитель \( b \). Поэтому мы можем выделить их как общие множители:

\[ a^{3} + ab^{2} + a^{2}b + b^{3} = a(a^{2} + b^{2}) + b(a^{2} + b^{2}) \]

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель \( a^{2} + b^{2} \). Мы можем выделить его:

\[ a(a^{2} + b^{2}) + b(a^{2} + b^{2}) = (a + b)(a^{2} + b^{2}) \]

Разложение на сумму кубов

Второй способ разложения этого многочлена - использование формулы разложения на сумму кубов:

\[ a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) \]

В нашем случае, если мы заметим, что \( a^{3} \) и \( b^{3} \) могут быть представлены как кубы, мы можем использовать эту формулу:

\[ a^{3} + ab^{2} + a^{2}b + b^{3} = a^{3} + b^{3} + ab(a + b) = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) + ab(a + b) \]

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель \( a + b \). Мы можем выделить его:

\[ (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) + ab(a + b) = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2} + ab) = (a + b)(a^{2} + b^{2}) \]

Проверка

Мы получили два различных разложения для данного многочлена:

\[ a^{3} + ab^{2} + a^{2}b + b^{3} = (a + b)(a^{2} + b^{2}) \]

и

\[ a^{3} + ab^{2} + a^{2}b + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) + ab(a + b) \]

Чтобы проверить, что эти разложения верны, мы можем раскрыть скобки и убедиться, что получим исходный многочлен.

Я могу продемонстрировать это, если вы хотите.