Question

Написать уравнение касательной к графику функции в точках: 1) f(x)=x^2 в точке x0=1 2) f(x)=x^3 в точке x0=2 3) f(x)=3/x в точке x0=-1 4) f(x)= в точке x0=4

Answer 1

1. f(x)=x²       x₀=1
1) f(x₀)=f(1)=1²=1
2) f '(x) = (x²)' =2x
    f ' (x₀) = f ' (1) = 2*1=2
3) y=1+2(x-1)=1+2x-2=2x-1
    y=2x-1 - уравнение касательной.

2. f(x)=x³      x₀=2
1) f(x₀)=f(2)=2³=8
2) f '(x)=(x³)' =3x²
    f '(x₀)=f ' (2) = 3*2²=12
3) y=8+12(x-2)=8+12x-24=12x-16
    y=12x-16 - уравнение касательной.

3. f(x)=3/x      x₀= -1
1) f(x₀)= f(-1)=3/(-1)= -3
2) f ' (x)=(3/x)' = -3/x²
   f ' (x₀) = f ' (-1)= -3/(-1)² = -3
   y=-3 + (-3) (x-(-1))=-3 -3(x+1)=-3-3x-3=-3x-6
y= -3x-6 - уравнение касательной.

4. f(x)=√x     x₀=4
1) f(x₀)=f(4)=√4 = 2
2) f ' (x)=(√x) ' =   1  
                         2√x
    f ' (x₀) = f ' (4) =  1   = 1/4
                            2√4
3) y=2 + 1/4(x-4) =2+ (1/4)x-1 = (1/4)x+1
y=(1/4)x+1 - уравнение касательной. 

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции в заданных точках

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданных точках, мы можем использовать производные функций. Уравнение касательной к графику функции в точке \( x_0 \) имеет вид:

\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]

Где \( f'(x_0) \) - производная функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \).

# 1) \( f(x) = x^2 \) в точке \( x_0 = 1 \)

Начнем с вычисления производной функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]

Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = 2 \times 1 = 2 \]

Теперь, используя уравнение касательной, получаем:

\[ y - f(1) = 2(x - 1) \] \[ y - 1 = 2(x - 1) \] \[ y = 2x - 1 \]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^2 \) в точке \( x_0 = 1 \) имеет вид: \( y = 2x - 1 \).

# 2) \( f(x) = x^3 \) в точке \( x_0 = 2 \)

Точно так же, вычислим производную функции \( f(x) = x^3 \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \]

Затем находим значение производной в точке \( x_0 = 2 \):

\[ f'(2) = 3 \times 2^2 = 12 \]

Используя уравнение касательной, получаем:

\[ y - f(2) = 12(x - 2) \] \[ y - 8 = 12(x - 2) \] \[ y = 12x - 16 \]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^3 \) в точке \( x_0 = 2 \) имеет вид: \( y = 12x - 16 \).

# 3) \( f(x) = \frac{3}{x} \) в точке \( x_0 = -1 \)

Вычислим производную функции \( f(x) = \frac{3}{x} \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{3}{x}) = -\frac{3}{x^2} \]

Затем найдем значение производной в точке \( x_0 = -1 \):

\[ f'(-1) = -3 \]

Используя уравнение касательной, получаем:

\[ y - f(-1) = -3(x + 1) \] \[ y + 3 = -3(x + 1) \] \[ y = -3x - 3 \]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \frac{3}{x} \) в точке \( x_0 = -1 \) имеет вид: \( y = -3x - 3 \).

# 4) \( f(x) = ? \) в точке \( x_0 = 4 \)

Извините, но у вас ошибка в формулировке вопроса. Не указана функция \( f(x) \) для 4-го случая. Если у вас есть функция \( f(x) \), пожалуйста, уточните ее, и я с удовольствием помогу вам найти уравнение касательной к ее графику в точке \( x_0 = 4 \).