Question

Доказать тождество tg a(1+cos2a)=sin2a

Answer 1

Tga*(1+cos2a)=sina/cosa *2cos²a=2sinacosa=sin2a
sin2a=sin2a

Answer 2

Для начала, давайте начнем с левой стороны и посмотрим, как мы можем упростить её, чтобы доказать тождество.

Упрощение левой стороны:

Дано тождество: \[ \tan{a} \cdot (1 + \cos{2a}) = \sin{2a} \]

Мы знаем, что \(\cos{2a} = \cos^2{a} - \sin^2{a}\) по формуле двойного угла. Таким образом, мы можем переписать левую сторону тождества:

\[ \tan{a} \cdot (1 + \cos{2a}) = \tan{a} \cdot (1 + \cos^2{a} - \sin^2{a}) \]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями, чтобы упростить это дальше.

Применение тригонометрических идентичностей:

Мы знаем, что \(\cos^2{a} - \sin^2{a} = \cos^2{a} - (1 - \cos^2{a}) = 2\cos^2{a} - 1\). Таким образом, мы можем подставить это значение обратно в левую сторону:

\[ \tan{a} \cdot (1 + \cos^2{a} - \sin^2{a}) = \tan{a} \cdot (2\cos^2{a} - \sin^2{a} - 1) \]

Теперь мы можем продолжить упрощение.

Использование тригонометрических соотношений для тангенса:

Мы знаем, что \(\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}\). Подставим это значение в уравнение:

\[ \tan{a} \cdot (2\cos^2{a} - \sin^2{a} - 1) = \frac{\sin{a}}{\cos{a}} \cdot (2\cos^2{a} - \sin^2{a} - 1) \]

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем упростить, чтобы доказать исходное тождество.