Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y = -x в квадрате + 4x, y =0

Answer 1

y=-x^2+4x

Находим точки пересечения параболы y=-x^2+4x с осью OX

-x^2+4x=0 => x(-x+4) => x1=0, x2=4

S=∫(-x^2+4x)dx от 0 до 4 = (-x^3/3+2x^2) от 0 до 4 =

  =(-4^3/3+2*4^2)-(-0^3/3+2*0^2)=-64/3+32=32/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = -x в квадрате и y = 0, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте разобьем эту фигуру на две части и вычислим площадь каждой из них.

Вычисление площади первой части фигуры

Первая часть фигуры находится между линиями y = -x в квадрате и y = 0. Чтобы вычислить площадь этой части, нам нужно найти точки пересечения этих двух линий.

Для этого, приравняем выражения y = -x в квадрате и y = 0: -x^2 = 0

Решая это уравнение, мы получаем x = 0. Это означает, что точка пересечения находится в начале координат.

Теперь, чтобы вычислить площадь первой части фигуры, мы можем использовать интеграл:

S1 = ∫[a, b] f(x) dx

Где a и b - это границы интегрирования. В данном случае, a = 0 и b = x, где x - это точка пересечения линий y = -x в квадрате и y = 0.

Выражение f(x) в данном случае равно y = -x в квадрате.

Таким образом, вычислим интеграл:

S1 = ∫[0, x] (-x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S1 = [-x^3/3] [0, x]

Подставим границы интегрирования:

S1 = (-x^3/3) - (0^3/3) = -x^3/3

Вычисление площади второй части фигуры

Вторая часть фигуры находится ниже оси x, между линиями y = -x в квадрате и y = 0. Площадь этой части можно вычислить с использованием того же метода интегрирования.

Для этой части, a = x и b = 0.

Выражение f(x) равно y = 0, так как эта часть лежит на оси x.

Таким образом, вычислим интеграл:

S2 = ∫[x, 0] 0 dx

Вычислим этот интеграл:

S2 = [0x] [x, 0] = 0

Вычисление общей площади

Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, мы должны сложить площади обеих частей:

S = S1 + S2 = (-x^3/3) + 0 = -x^3/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x в квадрате и y = 0, равна -x^3/3.

Мы использовали интегрирование для вычисления площади фигуры. Если у вас есть конкретные значения для x, то вы можете подставить их в полученное выражение для площади, чтобы получить численное значение.