Question

Sinx=1/2 а. найдите корни б. укажите корни, отобранные с помощью двойного неравенства, принадлежащие отрезку [-3pi/2; 0]

Answer 1

Sinx=1/2
x1=pi/6 +2pik,k e Z; x2=5pi/6 +2pik, k e Z
б) -3pi/2 <=pi/6+2pik <=0
-3/2 <= 1/6+2k <=0
-3/2-1/6 <=2k <= -1/6
-5/3 <=2k<=-1/6
-5/6 <= k <= -1/12
Пустое множество

-3pi/2 <= 5pi/6+2pik <=0
-3/2 <=5/6+2k <=0
-7/3 <=2k <=-5/6
-7/6 <=k <=-5/12  => k=-1
5pi/6-2pi=-7pi/6
Ответ: a) x1=pi/6+2pik; x2=5pi/6+2pik
б) -7pi/6

Answer 2

Для решения уравнения sin(x) = 1/2 + a, где a - произвольное число, мы можем использовать обратные функции тригонометрии. Первым шагом будет вычесть a из обеих частей уравнения:

sin(x) - a = 1/2.

Следующим шагом будет найти обратную функцию синуса для обеих частей уравнения:

x = arcsin(1/2 - a).

Теперь мы можем найти значения x, удовлетворяющие уравнению, на интервале [-3π/2, 0]. Для этого мы должны найти значения arcsin(1/2 - a), которые лежат в этом интервале.

Нахождение корней уравнения

Поскольку sin(x) имеет период 2π, мы можем найти значения x, удовлетворяющие уравнению, путем добавления или вычитания 2π к полученным значениям. Однако, в данном случае, мы ограничены интервалом [-3π/2, 0]. Это означает, что мы ищем значения x, которые находятся между -3π/2 и 0.

Давайте рассмотрим двойное неравенство:

-3π/2 ≤ x ≤ 0.

Нахождение корней, удовлетворяющих двойному неравенству

Чтобы найти значения x, удовлетворяющие двойному неравенству, мы должны найти значения, которые находятся между -3π/2 и 0. Используем полученное ранее значение x = arcsin(1/2 - a) и проверим, удовлетворяют ли они этому двойному неравенству.

arcsin(1/2 - a) ≥ -3π/2 (1) arcsin(1/2 - a) ≤ 0 (2)

Здесь мы предполагаем, что 0 ≤ a ≤ 1/2, чтобы удовлетворить условию, что sin(x) находится в диапазоне [-1, 1].

Решение неравенств

Для решения неравенства (1), мы можем применить обратную функцию синуса для обеих частей неравенства:

1/2 - a ≥ sin(-3π/2).

Обратная функция синуса для sin(-3π/2) равна -1, поэтому:

1/2 - a ≥ -1.

Теперь мы можем решить это неравенство:

a ≤ 3/2. (3)

Для решения неравенства (2), мы можем применить обратную функцию синуса для обеих частей:

1/2 - a ≤ sin(0).

Обратная функция синуса для sin(0) равна 0, поэтому:

1/2 - a ≤ 0.

Решим это неравенство:

a ≥ 1/2. (4)

Подводя итоги

Итак, мы нашли два неравенства (3) и (4), которые ограничивают диапазон значений a, удовлетворяющих уравнению sin(x) = 1/2 + a и двойному неравенству -3π/2 ≤ x ≤ 0.

Условия на значения a: - a ≤ 3/2, - a ≥ 1/2.

Это означает, что корни, удовлетворяющие условию и двойному неравенству, находятся в диапазоне значений a, определенном этими неравенствами.