Question

При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7)≤a?

Answer 1

(4(2x^2 + 5x + 3,5) - 20x + 2) / (2(2x^2 + 5x + 3,5) <= a
2 - (10x - 1) /  (2x^2 + 5x + 3,5) <= a
(10x - 1) /  (2x^2 + 5x + 3,5) + a - 2 >=  0
(10x - 1 + (a - 2)(2x^2 + 5x + 3,5)) / (2x^2 + 5x + 3,5) >= 0 
У знаменателя D = 5^2 - 4*2*3,5 = 25 - 28 = -3 < 0
Знаменатель положителен при любом х.
2(a-2)*x^2 + (10 + 5(a-2))*x + (3,5(a-2) - 1) >= 0
2(a-2)*x^2 + (10 + 5a - 10)*x + (3,5a - 7 - 1) >= 0
2(a-2)*x^2 + 5a*x + (3,5a-8) >= 0
Если a = 2, будет 10x + 7 - 8 = 10x - 1 >= 0 - верно не для всех х.

Если a < 2, то ветви направлены вниз, должно быть D >= 0
D = (5a)^2 - 4*2(a-2)(3,5a-8) = 25a^2 - 28a^2 + 56a + 64a - 128 >= 0
-3a^2 + 120a - 128 >= 0
D/4 = 60^2 - (-3)*(-128) = 3600 - 384 = 3216 = (4√201)^2
a1 = (-60 - 4√201)/(-3) = (60 + 4√201)/3 ~ 38,9
a2 = (-60 + 4√201)/(-3) = (60 - 4√201)/3 ~ 1,096
(60 - 4√201)/3 < a < (60 + 4√201)/3
Но, по условию, a < 2
(60 - 4√201)/3 < a < 2

Если a > 2, то ветви направлены вверх, должно быть D < 0
D = (5a)^2 - 4*2(a-2)(3,5a-8) = 25a^2 - 28a^2 + 56a + 64a - 128 < 0
-3a^2 + 120a - 128 < 0
a1 = (-60 - 4√201)/(-3) = (60 + 4√201)/3 ~ 38,9
a2 = (-60 + 4√201)/(-3) = (60 - 4√201)/3 ~ 1,096
a < (60 - 4√201)/3 U a > (60 + 4√201)/3
Но, по условию, a > 2
a > (60 + 4√201)/3

Ответ: (60 - 4√201)/3 < a < 2 U a > (60 + 4√201)/3

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно найти значения параметра a, при которых неравенство выполняется для всех значений x.

Начнем с анализа выражения в левой части неравенства: (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7).

Знаменатель

Заметим, что знаменатель данного выражения является квадратным трехчленом. Чтобы найти его корни, мы можем использовать формулу дискриминанта. Для квадратного трехчлена вида ax^2 + bx + c, дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, коэффициенты a = 4, b = 10 и c = 7. Подставляя их в формулу дискриминанта, получаем:

D = 10^2 - 4 * 4 * 7 = 100 - 112 = -12.

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что уравнение 4x^2 + 10x + 7 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, знаменатель не может быть равен нулю, и мы можем продолжить анализ.

Числитель

Теперь рассмотрим числитель выражения 8x^2−20x+16. Чтобы найти значения x, при которых числитель меньше или равен нулю, мы можем решить квадратное уравнение 8x^2−20x+16 = 0.

Для решения этого уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта. В данном случае, коэффициенты a = 8, b = -20 и c = 16. Подставляя их в формулу дискриминанта, получаем:

D = (-20)^2 - 4 * 8 * 16 = 400 - 512 = -112.

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что уравнение 8x^2−20x+16 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, числитель не может быть равен нулю.

Вывод

Исходя из нашего анализа, мы можем сделать вывод, что неравенство (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7) ≤ a выполняется для всех значений x при любых значениях параметра a. Ни одно значение параметра a не ограничивает диапазон значений x, при которых неравенство выполняется.

Пожалуйста, обратите внимание, что информация, предоставленная выше, основана на результате анализа математического выражения и не является прямым цитированием из источников.