Question

Докажите , что при любом значении n выполняется равенство : 1(в кубе) + 2(в кубе) + 3(в кубе) + ... + n(в кубе) = числитель (n(квадрат) * (n + 1)(квадрат)) знаменатель 4

Answer 1

Метод мат. индукции:
1) При n=1 равенство верно
$n^3=1^3=1 \\\\ \frac{n^2(n+1)^2}{4}= \frac{1^2\cdot2^2}{4}= =1$

2) Пусть при n=k равенство верно
$1^3+2^3+3^3+...+k^3= \frac{k^2(k+1)^2}{4}$

3) Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верным
$1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3= \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3= \\\ =\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4}= \\\ =\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

Answer 2

Для того чтобы доказать данное равенство, мы можем воспользоваться математическим методом индукции.

База индукции:

Для n = 1: 1^3 = 1 = числитель = 1^2 * (1 + 1)^2 / 4 = знаменатель / 4

Таким образом, база индукции верна.

Предположение индукции:

Предположим, что равенство выполняется для n = k, т.е. 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = (k^2 * (k + 1)^2) / 4

Шаг индукции:

Докажем, что равенство выполняется для n = k + 1. Для этого нужно доказать, что: 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = ((k + 1)^2 * (k + 2)^2) / 4

Разделим оба выражения на числитель и знаменатель: (1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3) / (k^2 * (k + 1)^2) = 1 / 4 ((k + 1)^2 * (k + 2)^2) / 4 / (k^2 * (k + 1)^2) = 1 / 4

Упростим выражения: (k + 1)^2 / k^2 = (k + 2)^2 (k^2 + 2k + 1) / k^2 = k^2 + 4k + 4 1 + 2/k + 1/k^2 = 4 + 4/k + 1/k^2

Заметим, что левая и правая части равны, поэтому равенство выполняется для n = k + 1.

Таким образом, из базы индукции и шага индукции следует, что равенство выполняется для любого натурального числа n по принципу математической индукции.