Question

Решить уравнение (x^2+X)^2+|x^2+x|-2=0

Answer 1

Известно: $\sqrt{ a^{2} } =|a|$ 
замена: $\sqrt{ ( x^{2} +x)^{2} } =t$  
тогда t² = (x²+x)² 
получим: t² + t - 2 = 0
по т.Виета корни: (-2) и (1)
отрицательное число решением не может быть 
(по определению квадратного корня)... 
(х²+х)² = 1
два решения: 
х² + х = 1   или   х² + х = -1
х² + х - 1 = 0   или   х² + х + 1 = 0
D=1+4=5                   D=1-4<0 здесь корней нет
х1 = (-1-√5)/2
х2 = (-1+√5)/2

Answer 2

Для начала решим уравнение \( (x^2 + x)^2 + |x^2 + x| - 2 = 0 \).

Решение уравнения

Давайте разберемся с этим уравнением по частям.

1. Рассмотрим \( |x^2 + x| \): - Если \( x^2 + x \geq 0 \), то \( |x^2 + x| = x^2 + x \). - Если \( x^2 + x < 0 \), то \( |x^2 + x| = -(x^2 + x) \).

2. Разберемся с \( (x^2 + x)^2 \): - Это выражение можно рассматривать как \( (x^2 + x)^2 = (x^2 + x)(x^2 + x) \).

Теперь объединим оба пункта и решим уравнение.

3. Решение: - Если \( x^2 + x \geq 0 \), то уравнение примет вид: \[ (x^2 + x)^2 + (x^2 + x) - 2 = 0 \] - Если \( x^2 + x < 0 \), то уравнение примет вид: \[ (x^2 + x)^2 - (x^2 + x) - 2 = 0 \]

Решение для \( x^2 + x \geq 0 \)

1. Рассмотрим случай \( x^2 + x \geq 0 \): \[ (x^2 + x)^2 + (x^2 + x) - 2 = 0 \]

2. Подставим \( u = x^2 + x \), тогда уравнение примет вид: \[ u^2 + u - 2 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение: \[ u^2 + u - 2 = 0 \] \[ (u + 2)(u - 1) = 0 \]

4. Найдем значения \( u \): - \( u + 2 = 0 \) => \( u = -2 \) - \( u - 1 = 0 \) => \( u = 1 \)

5. Вернемся к переменной \( x \): - Если \( u = -2 \), то \( x^2 + x = -2 \) => \( x^2 + x + 2 = 0 \) - Если \( u = 1 \), то \( x^2 + x = 1 \) => \( x^2 + x - 1 = 0 \)

6. Решим квадратные уравнения \( x^2 + x + 2 = 0 \) и \( x^2 + x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта и формулы \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).

7. Найденные корни подставим обратно в исходное уравнение и проверим их.

Решение для \( x^2 + x < 0 \)

1. Рассмотрим случай \( x^2 + x < 0 \): \[ (x^2 + x)^2 - (x^2 + x) - 2 = 0 \]

2. Подставим \( u = x^2 + x \), тогда уравнение примет вид: \[ u^2 - u - 2 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение: \[ u^2 - u - 2 = 0 \] \[ (u + 1)(u - 2) = 0 \]

4. Найдем значения \( u \): - \( u + 1 = 0 \) => \( u = -1 \) - \( u - 2 = 0 \) => \( u = 2 \)

5. Вернемся к переменной \( x \): - Если \( u = -1 \), то \( x^2 + x = -1 \) => \( x^2 + x + 1 = 0 \) - Если \( u