Question

Даже мой учитель математики не решил такое, а вы, вы сможете? ) Доказать что: а) Число 6^12 - 1 делится на 37 б) Число 3^17 - 3 делится на 240 в) Число 10^24 - 298 делится на 99

Answer 1

А) По разности кубов 6^12 - 1=(6^4)^3 - 1=(6^4-1)(6^8+6^4+1), но  6^4-1=(6^2+1)(6^2-1)=37*35.
б) 3^17 - 3=3(3^16-1)=3(3^8-1)(3^8+1)=3(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1),
но 3(3^4-1)=240.
в) 298=99*3+1 значит
10^24-298=(99+1)^12-298=(99k+1)-(99*3+1)=99(k-3).

Answer 2

Давайте начнем с поиска решения для каждого из представленных уравнений.

Уравнение (а)

Мы хотим доказать, что число \(6^{12} - 1\) делится на 37.

Решение

Мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая говорит, что если \(p\) — простое число, то для любого целого числа \(a\) выполняется \(a^p \equiv a \pmod{p}\). В данном случае, \(6^{36} \equiv 6 \pmod{37}\).

Таким образом, \(6^{36} - 1 \equiv 6 - 1 \equiv 5 \pmod{37}\).

Это означает, что \(6^{36} - 1\) делится на 37.

Уравнение (б)

Теперь рассмотрим уравнение \(3^{17} - 3\), которое долж