Question

Определите,могут ли arccos a и arcsin a быть равными: 1. √ 2 2. √ 3 3. √ 22/3

Answer 1

только arccos √2/2=π/4 и arcsin √2/2=π/4 могут быть равными

Answer 2

Определение арккосинуса и арксинуса

Перед тем как дать ответ на вопрос, давайте рассмотрим определения арккосинуса (arccos) и арксинуса (arcsin).

Арккосинус (arccos) функции является обратной косинус функции. Если \( y = \cos(x) \), то \( x = \arccos(y) \), и область значений арккосинуса \( y \) находится в пределах от \( 0 \) до \( \pi \).

Арксинус (arcsin) функции является обратной синус функции. Если \( y = \sin(x) \), то \( x = \arcsin(y) \), и область значений арксинуса \( y \) находится в пределах от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \).

Теперь перейдем к вопросу о том, могут ли arccos(a) и arcsin(a) быть равными для различных значений \( a \).

Возможные значения для a

Мы рассмотрим три конкретных значения \( a \) и определим, могут ли arccos(a) и arcsin(a) быть равными.

1. \( a = \sqrt{2}/2 \) 2. \( a = \sqrt{3}/3 \) 3. \( a = \sqrt{22/3} \)

Рассмотрение каждого значения a по отдельности

1. \( a = \sqrt{2}/2 \)

Для \( a = \sqrt{2}/2 \), arccos(a) = arccos(\( \sqrt{2}/2 \)) = \( \pi/4 \), а arcsin(a) = arcsin(\( \sqrt{2}/2 \)) = \( \pi/4 \). Таким образом, в этом случае arccos(a) и arcsin(a) равны.

2. \( a = \sqrt{3}/3 \)

Для \( a = \sqrt{3}/3 \), arccos(a) = arccos(\( \sqrt{3}/3 \)) = \( \pi/6 \), а arcsin(a) = arcsin(\( \sqrt{3}/3 \)) = \( \pi/6 \). Таким образом, в этом случае arccos(a) и arcsin(a) также равны.

3. \( a = \sqrt{22/3} \)

Для \( a = \sqrt{22/3} \), arccos(a) и arcsin(a) не могут быть равными, так как значение арккосинуса находится в диапазоне от \( 0 \) до \( \pi \), а значение арксинуса находится в диапазоне от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \), их значения не пересекаются.

Вывод

Таким образом, для конкретных значений \( a \) (как в примере 1 и 2), arccos(a) и arcsin(a) могут быть равными, но для других значений \( a \) (как в примере 3), они не могут быть равными.