Question

Указати найбільше ціле значення параметра а, за якого рівняння 2^2х+(а+1)*2^х+1/4=0 має два різних корені

Answer 1

$2^{2x}+(a+1)}*2^x+1/4=0\\ 2^x=t\\ t^2+(a+1)t+1/4=0\\ D=a^2+2a+1-4*1/4=a^2+2a\\ a^2+2a>0\\ a(a+2)>0\\ a<-2,a>0$

если a> 0 комплексные корни

если а<-2 действительные

Ответ а=-3

Answer 2

2^x = y

 

y^2 +(a+1)*y +1/4 =0 

A=1  B=(a+1)  C= 1/4

D=B*B - 4AC =(a+1)^2 - 4 * 1 * 1/4 =  (a+1)^2 -  1 = (a+1 - 1) * (a+1 +1) = a*(a+2)

D>0 при 1)   a>0 и  a>-2  ==> a>0

                 2)   a<0 и  a<-2  ==> a<-2

 

y1 = (-B-D^(1/2))/(2A) <0 при всех значениях а ==> 2^x = y1<0  ни при каких значениях х

 

y2=(-B+D^(1/2))/(2A) = (-a-1 + (a*(a+2))^1/2 )/2 >0  если (-a-1 + (a*(a+2))^1/2 )>0  ==>

(a*(a+2))^1/2 > a+1  ==> a*(a+2) > (a+1)^2  ==>   (a+1)^2 -  1  > (a+1)^2  ==>  -1 > 0 всегда неверно  ==>  ни при каких значениях х

 

ни при каких значениях х уравнение не имеет 2 разных действительных корня

 

Комплексные корни получаться если D<0

Это будет если a*(a+2)<0  ==>  1) a<0   и a>-2  ==>  [-2; 0]

                                                           2) a>0  и  a<-2  === пустое множествоё

 

2 комплексных корня будут при a=-1 так как при а =0 и а=-2 будет 1 корень.

 

 

 

 

Answer 3

Значення параметра а, за якого рівняння має два різних корені

Щоб знайти значення параметра а, за якого рівняння $2^{2x} + (a + 1) \cdot 2^x + \frac{1}{4} = 0$ має два різних корені, спочатку розглянемо загальну формулу для квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$. За цією формулою, дискримінант рівняння обчислюється як $D = b^2 - 4ac$.

Якщо дискримінант більший за нуль ($D > 0$), то рівняння має два різних корені. Тому, щоб знайти значення параметра а, за якого рівняння має два різних корені, ми повинні знайти значення параметра а, при якому дискримінант буде більший за нуль.

В даному випадку, ми маємо рівняння $2^{2x} + (a + 1) \cdot 2^x + \frac{1}{4} = 0$. Щоб знайти значення параметра а, за якого рівняння має два різних корені, ми повинні обчислити дискримінант цього рівняння і прирівняти його до нуля:

$D = \left((a + 1) \cdot 2^x\right)^2 - 4 \cdot 2^{2x} \cdot \frac{1}{4}$

$D = (a + 1)^2 \cdot 2^{2x} - 2^{2x}$

$D = (a^2 + 2a + 1 - 1) \cdot 2^{2x}$

$D = a^2 \cdot 2^{2x} + 2a \cdot 2^{2x}$

$D = a^2 \cdot 4^x + 2a \cdot 4^x$

$D = (a^2 + 2a) \cdot 4^x$

Тепер, щоб рівняння мало два різних корені, дискримінант має бути більший за нуль:

$(a^2 + 2a) \cdot 4^x > 0$

Так як $4^x$ завжди більше за нуль, то ми можемо скоротити цей множник:

$a^2 + 2a > 0$

$a(a + 2) > 0$

Тепер ми можемо розглянути два випадки:

1. Якщо $a > 0$, то $a(a + 2) > 0$ буде виконуватися, коли обидва множники будуть більшими за нуль. Тобто, $a > 0$ та $a + 2 > 0$. Звідси отримуємо, що $a > 0$.

2. Якщо $a < 0$, то $a(a + 2) > 0$ буде виконуватися, коли обидва множники будуть меншими за нуль. Тобто, $a < 0$ та $a + 2 < 0$. Звідси отримуємо, що $a < -2$.

Отже, найбільше ціле значення параметра а, за якого рівняння $2^{2x} + (a + 1) \cdot 2^x + \frac{1}{4} = 0$ має два різних корені, є a = 0.

Джерела:

' '