Question

Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных заданными линиямиа)у=х^2-10х+16, у= 4-2хб) у=х^2+4x, у= -х^2+2x

Answer 1

A) y=x²-10x+16    y=4-2x    S=?
x²-10x+16=4-2x
x²-8x+12=0    D=16
x₁=6    x₂=2     ⇒
S=₂∫⁶(4-2x-(x²-10x+16))dx=₂∫⁶(4-2x-x²+10x-16)dx=₂∫⁶(8x-x²-12)dx=
=(4x²-x³/3-12x) ₂|⁶=4*6²-6³/3-12*6-(4*2²-2³/3-1*2)=144-72-72-(16-(8/3)-12*2)=
=-(16-2²/₃-24)=10²/₃≈10,67.
Ответ: S≈10,67 кв. ед.
б) y=x²+4x     y=-x²+2x     S=?
x²+4x=-x²+2x
2x²+2x=0   |÷2
x²+x=0
x*(x+1)=0
x₁=-1     x₂=0   ⇒
₋₁∫⁰(-x²+2x-x²-4x)dx=₋₁∫⁰(-2x²--2x)dx=-2*₋₁∫⁰(x²+x)dx=-2*(x³/3+x²/2) ₋₁|⁰=
=-2*((0³/3+0²/2)-((-1)³/3+(-1)²/2))=-2*(0-(1/3+1/2)=-2*(-1/6)=1/3≈0,33.
Ответ: S≈0,33 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади плоских фигур, ограниченных заданными линиями, мы можем использовать метод интеграции. В данном случае у нас есть две параболы, и мы можем найти точки пересечения этих парабол, чтобы определить интервалы интегрирования.

Задача а)

У нас есть две параболы:

1. у = х^2 - 10х + 16 2. у = 4 - 2х

Чтобы найти точки пересечения парабол, мы можем приравнять их уравнения и решить получившееся квадратное уравнение:

х^2 - 10х + 16 = 4 - 2х

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

х^2 - 10х + 2х + 16 - 4 = 0 х^2 - 8х + 12 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:

(х - 2)(х - 6) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: х = 2 и х = 6.

Теперь нам нужно определить, какая парабола находится выше в каждом из интервалов между точками пересечения.

Вычислим значения функций в этих точках:

Для параболы у = х^2 - 10х + 16: у(2) = 2^2 - 10 * 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 у(6) = 6^2 - 10 * 6 + 16 = 36 - 60 + 16 = -8

Для параболы у = 4 - 2х: у(2) = 4 - 2 * 2 = 4 - 4 = 0 у(6) = 4 - 2 * 6 = 4 - 12 = -8

Мы видим, что значения функций совпадают в обоих точках пересечения, поэтому площадь фигуры будет равна разности площадей обоих парабол в интервале между точками пересечения.

Вычислим площадь каждой параболы в заданном интервале:

Для параболы у = х^2 - 10х + 16: Площадь = ∫[2, 6] (х^2 - 10х + 16) dx

Для параболы у = 4 - 2х: Площадь = ∫[2, 6] (4 - 2х) dx

Вычислим эти интегралы:

Для параболы у = х^2 - 10х + 16: Площадь = ∫[2, 6] (х^2 - 10х + 16) dx = [(х^3/3 - 5х^2 + 16х)]_[2, 6] = ((6^3/3 - 5 * 6^2 + 16 * 6) - (2^3/3 - 5 * 2^2 + 16 * 2)) = (72 - 180 + 96) - (8/3 - 20 + 32) = 12 - (8/3 - 20 + 32) = 12 - (8/3 - 52/3) = 12 - (-44/3) = 12 + 44/3 = 36/3 + 44/3 = 80/3 = 26.67 (приближенно)

Для параболы у = 4 - 2х: Площадь = ∫[2, 6] (4 - 2х) dx = [(4х - х^2)]_[2, 6] = ((4 * 6 - 6^2) - (4 * 2 - 2^2)) = (24 - 36) - (8 - 4) = -12 - 4 = -16

Теперь мы можем найти площадь фигуры, вычтя площадь параболы у = 4 - 2х из площади параболы у = х^2 - 10х + 16:

Площадь фигуры = 26.67 - (-16) = 26.67 + 16 = 42.67 (приближенно)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболами у = х^2 - 10х + 16 и у = 4 - 2х в интервале от х = 2 до х = 6, составляет примерно 42.67 квадратных единиц.

Задача б)

У нас есть две параболы:

1. у = х^2 + 4х 2. у = -х^2 + 2х

Аналогично предыдущей задаче, найдем точки пересечения парабол, приравняв их уравнения:

х^2 + 4х = -х^2 + 2х

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

2х^2 - 2х = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:

2х(х - 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: х = 0 и х = 1.

Вычислим значения функций в этих точках:

Для параболы у = х^2 + 4х: у(0) = 0^2 + 4 * 0 = 0 у(1) = 1^2 + 4 * 1 = 1 + 4 = 5

Для параболы у = -х^2 + 2х: у(0) = -(0^2) + 2 * 0 = 0 у(1) = -(1^2) + 2 * 1 = -1 + 2 = 1

Мы видим, что в точке пересечения х = 0 значения функций совпадают, а в точке пересечения х = 1 значение функции параболы у = х^2 + 4х больше.

Площадь фигуры будет равна разности площадей обоих парабол в интервале между точками пересечения.

Вычислим площадь каждой параболы в заданном интервале:

Для параболы у = х^2 + 4х: Площадь = ∫[0, 1] (х^2 + 4х) dx

Для параболы у = -х^2 + 2х: Площадь = ∫[0, 1] (-х^2 + 2х) dx

Вычислим эти интегралы:

Для параболы у = х^2 + 4х: Площадь = ∫[0, 1] (х^2 + 4х) dx = [(х^3/3 + 2х^2)]_[0, 1] = ((1^3/3 + 2 * 1^2) - (0^3/3 + 2 * 0^2)) = (1/3 + 2) - (0/3 + 0) = 1/3 + 2 = 7/3 = 2.33 (приближенно)

Для параболы у = -х^2 + 2х: Площадь = ∫[0, 1] (-х^2 + 2х) dx = [(-х^3/3 + х