Question

Найдите экстремумы функции y=x^4-12x^3+1

Answer 1

Y=x^4-12x^3+1
y' = 4x^3-36x^2
y' =0; 4x^3-36x^2=0; 4x^2(x-9)=0; 4x^2=0 U x-9=0;  x=0; x=9

______+______0_______-______9_______+_______ 
                      max.                   min.
y(0)= 1
y(9)= 9^4 - 12*9^3+1=-2186
Ответ: Y min.= -2186 в точке х = 9
Y max. = 1 в точке х=0           

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции y = x^4 - 12x^3 + 1, мы должны сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем мы можем решить полученное уравнение, чтобы найти точки, в которых функция имеет экстремумы.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y = x^4 - 12x^3 + 1. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования степенной функции и правило суммы:

y' = 4x^3 - 3 * 12x^2 + 0

После упрощения получаем:

y' = 4x^3 - 36x^2

Приравнивание производной к нулю

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение, чтобы найти значения x, в которых функция имеет экстремумы:

4x^3 - 36x^2 = 0

Решение уравнения

Вынесем общий множитель x^2:

x^2(4x - 36) = 0

Теперь мы имеем два уравнения:

1) x^2 = 0 2) 4x - 36 = 0

Решим каждое из них:

1) x^2 = 0 x = 0

2) 4x - 36 = 0 4x = 36 x = 9

Нахождение значений y

Теперь, когда у нас есть значения x, в которых функция имеет экстремумы, мы можем найти соответствующие значения y, подставив эти значения обратно в исходную функцию:

1) При x = 0: y = (0)^4 - 12(0)^3 + 1 y = 1

2) При x = 9: y = (9)^4 - 12(9)^3 + 1 y = 6561 - 8748 + 1 y = -2178

Ответ

Таким образом, функция y = x^4 - 12x^3 + 1 имеет два экстремума. Один экстремум находится в точке (0, 1), где функция достигает минимума, а второй экстремум находится в точке (9, -2178), где функция достигает максимума.