Question

Найдите корни уравнения, принадлежащие [-π;5π/6) 2sinx-cosx=1-sin2x.

Answer 1

$2sinx - cosx = 1 - sin2x \\ 2sinx - cosx - 1 + 2sinxcosx = 0 \\ 2sinx(1 + cox) - (1 + cosx) = 0 \\ (2sinx - 1)(1 + cosx) = 0 \\ sinx = \frac{1}{2} \\ x = (-1)^n \frac{ \pi }{6} + \pi n, \ n \in Z \\ cosx = -1 \\ x = \pi + 2 \pi n, n \in Z$
Теперь отберём корни с помощью двойных неравенств:
$- \pi \leq (-1)^n \frac{ \pi }{6} + \pi n \ \textless \ \frac{5 \pi }{6} \\ -6 \pi \leq (-1)^n \pi + 6 \pi n \ \textless \ 5 \pi \\ -6 \leq (-1)^n + 6n \ \textless \ 5$
$n = 0$ с учётом того, что n ∈ Z. Тогда $x = \frac{ \pi }{6}$.
$- \pi \leq \pi + 2 \pi n \ \textless \ \frac{5 \pi }{6} \\ \\ -2 \pi \leq 2 \pi n \ \textless \ -\frac{ \pi }{6} \\ -1 \leq n \ \textless \ - \frac{1}{12}$
$n = -1$с учётом того, что n ∈ Z. Тогда $x = \pi - 2 \pi = - \pi .$
Ответ: $x = - \pi ; \frac{ \pi }{6}$