Question

Sin 5x * cos^2 2x = 1

Answer 1

Sin(5x)*cos^2 (2x) = 1
Косинус двойного угла:
cos 2a = 2cos^2 a - 1
cos^2 a = (1 + cos 2a)/2
Подставляем
sin(5x)*(1 + cos 4x)/2 = 1
sin 5x + sin 5x*cos 4x = 2
Есть формула: sin a*cos b = 1/2*[sin(a+b) + sin(a-b)]
Подставляем
sin 5x + 1/2*(sin 9x + sin x) = 2
2sin 5x + sin 9x + sin x = 4
Функция синуса имеет максимум 1 при любом аргументе.
2*1 + 1 + 1 = 4
Значит
{ sin x = 1
{ sin 5x = 1
{ sin 9x = 1
Единственное решение: x = pi/2 + 2pi*k

Answer 2

Sin5x *cos²2x =1 ;
sin5x *(1+cos2*2x) /2 = 1 ;
sin5x +sin5x*cos4x =2 ;
sin5x +( sin(5x +4x) +sin(5x-4x) ) / 2 = 2 ;
2sin5x +sin9x +sinx = 4 ⇔ { sinx =1 ; sin5x = 1; sin9x =1.⇔ 
{ x =π/2 +2πk ; 5x = π/2 +2πm ; 9x =π/2 +2πn ,k,m,n ∈ Z. ⇒
x =π/2 +2πk ; x = (π/2 +2πm)/5 ; x =(π/2 +2πn)/9 ,k,m,n ∈ Z.
⇔x =π/2 +2πk ,  k ∈ Z.
* * * (π/2 +2πm)/5=π/2 +2πk  ⇔2πm =2π +10πk ⇔m=1+5k * * *
* * * (π/2 +2πn)/9 =π/2 +2πk  ⇔2πn = 4π +18πk ⇔n=2+9k * * *

ответ : π/2 +2πk ,  k ∈ Z. 
* * * * * * *
cos² α/2 =(1+cos2α)/2 ;
sinα*cosβ  =( sin(α+β) +  sin(α-β) ) /2.   
---
|2sin5x +sin9x+sinx | ≤|2sin5x| +|sin9x|+|sinx|  ≤  2*1+1+1 = 4

Answer 3

Чтобы решить уравнение \(\sin(5x) \cdot \cos^2(2x) = 1\), давайте разберемся с ним пошагово.

Уравнение: \[ \sin(5x) \cdot \cos^2(2x) = 1 \]

1. Используем тригонометрическую идентичность \(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\) для замены \(\cos^2(2x)\): \[ \sin(5x) \cdot (1 - \sin^2(2x)) = 1 \]

2. Раскроем скобки: \[ \sin(5x) - \sin^3(2x) = 1 \]

3. Переносим все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить уравнение в стандартной форме: \[ \sin(5x) - \sin^3(2x) - 1 = 0 \]

4. Воспользуемся формулой для разности кубов \((a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[ (\sin(5x) - 1)(\sin^2(5x) + \sin(5x) + 1) - \sin^3(2x) = 0 \]

5. Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(\sin(5x)\). Решим его, представив \(\sin(5x)\) в виде переменной \(u\): \[ (u - 1)(u^2 + u + 1) - \sin^3(2x) = 0 \]

6. Решим полученное квадратное уравнение относительно \(u\): \[ u^3 - \sin^3(2x) - 3u^2 + 3u - 1 = 0 \]

7. Теперь подставим \(\sin(5x)\) обратно: \[ \sin^3(5x) - \sin^3(2x) - 3\sin^2(5x) + 3\sin(5x) - 1 = 0 \]

8. Попробуем упростить уравнение и привести его к более простому виду. Если у вас есть конкретные значения, для которых нужно решить уравнение, можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.

Обратите внимание, что решение уравнения в общем виде может потребовать численных методов, особенно при наличии кубического члена.