Question

Найдите область определения функции F(x)=корень из x-1/3x-6

Answer 1

Чтобы найти область определения функции \( F(x) = \sqrt{\frac{x-1}{3x-6}} \), нужно учесть два фактора: корень из неотрицательного числа и знаменатель дроби.

1. Корень из неотрицательного числа: Корень из числа может быть взят только из неотрицательного числа, иначе результат будет комплексным. Таким образом, выражение под корнем \(\frac{x-1}{3x-6}\) должно быть неотрицательным: \[ \frac{x-1}{3x-6} \geq 0 \]

2. Знаменатель дроби: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Поэтому: \[ 3x-6 \neq 0 \]

Теперь объединим оба условия:

\[ \frac{x-1}{3x-6} \geq 0 \] \[ 3x-6 \neq 0 \]

Решим первое неравенство:

\[ \frac{x-1}{3x-6} \geq 0 \]

Сначала найдем значения \(x\), для которых числитель и знаменатель равны нулю:

1. \( x - 1 = 0 \) --> \( x = 1 \) 2. \( 3x - 6 = 0 \) --> \( x = 2 \)

Эти точки разбивают область определения на три интервала:

- \( (-\infty, 1) \) - \( (1, 2) \) - \( (2, +\infty) \)

Теперь возьмем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак на интервалах:

1. Для интервала \( (-\infty, 1) \) возьмем \( x = 0 \): \[ \frac{0-1}{3(0)-6} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0 \]

2. Для интервала \( (1, 2) \) возьмем \( x = 1.5 \): \[ \frac{1.5-1}{3(1.5)-6} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} > 0 \]

3. Для интервала \( (2, +\infty) \) возьмем \( x = 3 \): \[ \frac{3-1}{3(3)-6} = \frac{2}{3} > 0 \]

Таким образом, функция определена на интервалах \( (-\infty, 1) \) и \( (2, +\infty) \), но не определена при \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Таким образом, область определения функции \( F(x) \) - это объединение интервалов \( (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \).