Question

К графику функции у=корень (х+2) проведена касательная, образующая с осями координат треугольник наименьшей площади. Найдите координаты точки касания.

Answer 1

D(y)=[-2;+∞)- область определения данной функции.
Cоставим уравнение касательной к кривой в точке z
y(z)=√(z+2);
y`(x)=1/2√(x+2)
y`(z)=1/2√(z+2)
Уравнение
у-у(z)=y`(z)(x-z)
y-√(z+2)=(x-z)/2√(z+2)
Найдем точки пересечения касательной с осями координат
При х=0  у=√(z+2)-(z/2√(z+2))=(2z+4-z)/2√(z+2)=(z+4)/2√(z+2)
При у=0  x-z=-2(z+2)  ⇒x=-z-4
Треугольник, образуемый касательной с осями координат- прямоугольный, с катетами |-z-4|  и |(z+4)/2√(z+2)|
Площадь прямоугольного треугольника находим по формуле как  половину произведения катетов:
S(Δ)=(1/2)|-z-4|·(z+4)/2√(z+2)=(z+4)²/4√(z+2)
S`(z)=2(z+4)(3z+4)/16(z+2)√(z+2)
S`(z)=0
3z+4=0
z=-4/3
y(-4/3)=√((-4/3)+2)=1/√3
О т в е т.(-4/3; 1/√3)

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется найти точку касания касательной с графиком функции y = √(x + 2), а затем найти координаты этой точки.

Для начала, давайте найдем производную функции y = √(x + 2). Для этого применим правило дифференцирования корня и правило дифференцирования суммы:

(dy/dx) = (1/2) * (x + 2)^(-1/2) * 1

Это дает нам производную функции:

(dy/dx) = 1 / (2 * √(x + 2))

Теперь давайте найдем уравнение касательной, используя точку касания (x0, y0) и производную в этой точке:

y - y0 = (dy/dx)(x - x0)

Мы знаем, что касательная проходит через начало координат (0, 0), поэтому x0 = 0 и y0 = 0:

y - 0 = (1 / (2 * √(x + 2))) * (x - 0)

Упрощая это уравнение, получим:

y = x / (2 * √(x + 2))

Теперь нам нужно найти точку пересечения этой касательной с графиком функции y = √(x + 2). Чтобы это сделать, приравняем уравнение касательной к уравнению функции:

x / (2 * √(x + 2)) = √(x + 2)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x^2) / (4 * (x + 2)) = x + 2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 = 4 * (x + 2) * (x + 2)

x^2 = 4 * (x^2 + 4x + 4)

x^2 = 4x^2 + 16x + 16

3x^2 + 16x + 16 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Однако, обратите внимание, что у этого уравнения есть только один действительный корень x.

Решив это уравнение, мы найдем значение x. Зная x, мы можем найти соответствующее значение y, используя уравнение касательной:

y = x / (2 * √(x + 2))

Эти значения (x, y) будут координатами точки касания касательной с графиком функции y = √(x + 2).

Я рекомендую использовать программное обеспечение для численного решения уравнения, чтобы получить точные значения координат точки касания.