Question

Знайти первісну функції f(x)=3/2√x -2x в т. N (9;-8)

Answer 1

Так як $\int x^n dx=\frac{x^n}{n+1} +C$
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$f(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-2x$
шукаємо сімейство первісних
$F(x)=\int (\frac{3}{2}\sqrt{x}-2x) dx=\\\\\frac{3}{2}*\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-2*\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\\\\\frac{3}{2}*\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+2*\frac{x^2}{2}+C=\\\\x\sqrt{x}+x^2+C$
$F(x)=x\sqrt{x}+x^2+C$
шукаємо шукану первісну
$F(9)=-8$
$9*\sqrt{9}+9^2+C=-8$
$9*3+81+C=-8$
$C=-8-27-81$
$C=-116$
$F(x)=x\sqrt{x}+x^2-116$
відповідь: $x\sqrt{x}+x^2-116$

Answer 2

Щоб знайти перші похідні та точку екстремуму функції \( f(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 2x \), спростимо функцію та знайдемо її похідні.

\[ f(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 2x \]

Спростимо доданок \( \frac{3}{2}\sqrt{x} \):

\[ f(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 2x \]

Тепер знайдемо похідну функції \( f(x) \) за виразом \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2}x^{1/2} - 2x \right) \]

Застосуємо правило диференціювання степеневої функції та константи:

\[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}x^{-1/2} - 2 \cdot \frac{d}{dx}(x) \]

\[ f'(x) = \frac{3}{4}x^{-1/2} - 2 \]

Тепер знайдемо точку екстремуму, вирівнявши похідну \( f'(x) \) до нуля:

\[ \frac{3}{4}x^{-1/2} - 2 = 0 \]

\[ \frac{3}{4}x^{-1/2} = 2 \]

\[ x^{-1/2} = \frac{8}{3} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{8} \]

\[ \sqrt{x} = \frac{8}{3} \]

\[ x = \left( \frac{8}{3} \right)^2 \]

\[ x = \frac{64}{9} \]

Отже, точка екстремуму \( x \) дорівнює \( \frac{64}{9} \).

Тепер, щоб знайти значення \( y \) у цій точці, підставимо \( x = \frac{64}{9} \) у вихідну функцію \( f(x) \):

\[ f\left(\frac{64}{9}\right) = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{64}{9}} - 2 \cdot \frac{64}{9} \]

\[ f\left(\frac{64}{9}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} - \frac{128}{9} \]

\[ f\left(\frac{64}{9}\right) = 4 - \frac{128}{9} \]

Щоб дізнатися значення цього виразу, можна використати калькулятор.