Question

помогите решить данные уравнения 2cos^2 х + 5sinx - 4 = 0иsin^2 x + cosxsinx = 0

Answer 1

Решения уравнений:

1)2cos^2 х + 5sinx - 4 = 0

2)sin^2 x + cosxsinx = 0

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и найдем их решения.

1) Уравнение 2cos²(x) + 5sin(x) - 4 = 0:

Заметим, что уравнение содержит как синус, так и косинус. Для решения таких уравнений, можно воспользоваться идентичностью: sin²(x) + cos²(x) = 1.

Перепишем исходное уравнение с использованием этой идентичности: 2(1 - sin²(x)) + 5sin(x) - 4 = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 2 - 2sin²(x) + 5sin(x) - 4 = 0.

Перенесем все слагаемые влево: -2sin²(x) + 5sin(x) - 2 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена или квадратного корня.

D = (5)² - 4(-2)(-2) = 25 - 16 = 9.

Корни уравнения: sin(x) = (-5 ± √9) / -4.

1) sin(x) = (-5 + 3) / -4 = -2 / -4 = 1/2. 2) sin(x) = (-5 - 3) / -4 = -8 / -4 = 2.

2-1) Рассмотрим случай sin(x) = 1/2. Найдем угол, для которого sin равен 1/2. Угол такой существует в I и II четвертях и равен π/6 и 5π/6. Используя тригонометрические соотношения, можем найти x. cos(x) = √(1 - sin²(x)) = √(1 - (1/2)²) = √(1 - 1/4) = √3/2. cos(x) = ± √3/2.

Таким образом, решениями уравнения sin(x) = 1/2 являются x₁ = π/6 и x₂ = 5π/6.

2-2) Рассмотрим случай sin(x) = 2. Такое значение синуса не существует, поэтому второе решение отсутствует.

Итак, решения первого уравнения: x₁ = π/6 и x₂ = 5π/6.

2) Уравнение sin²(x) + cos(x)sin(x) = 0:

Данное уравнение также содержит синус и косинус. Рассмотрим его по отдельности.

По свойствам синуса и косинуса, можно выразить cos(x) через sin(x): sin²(x) + cos(x)sin(x) = 0, sin(x)(sin(x) + cos(x)) = 0.

Решим это уравнение по частям:

1) sin(x) = 0. Это уравнение имеет решение x = 0.

2) sin(x) + cos(x) = 0. Данное уравнение требует численного решения. Можно воспользоваться графиком функций sin(x) и cos(x) и найти приближенное решение.

На графике видно, что sin(x) + cos(x) = 0 имеет решение около x ≈ -π/4 и x ≈ 3π/4.

Итак, решения второго уравнения: x₁ = 0, x₂ ≈ -π/4 и x₃ ≈ 3π/4.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, буду рад помочь.