Question

Итак, у меня есть уравнение y=e^4x-5e^2x+11. Нужно найти наименьшее значение на отрезке [0;2] Как это можно решить?

Answer 1

Решение
y = e^(4x) - 5*(e^2x) + 11                   [0;2]
Находим первую производную функции:
y' = 4*e^(4x) - 10*(e^(2x)
Приравниваем ее к нулю:
4*e^(4x) - 10*(e^(2x)  = 0
x1 = 0,46
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0,46) = 4,75
f(0) = 7
f(2) = 2718,9672
Ответ:  fmin = 4,75, fmax = 2718,97

Answer 2

Для нахождения минимального значения функции \(y = e^{4x} - 5e^{2x} + 11\) на отрезке \([0, 2]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \(y\) по переменной \(x\). 2. Решите уравнение \(y'(x) = 0\) для определения критических точек. 3. Проверьте значения функции в найденных критических точках, а также на концах отрезка \([0, 2]\). 4. Найдите минимальное значение среди полученных результатов.

Давайте выполним эти шаги.

1. Найдем производную функции \(y\): \[y'(x) = 4e^{4x} - 10e^{2x}.\]

2. Решим уравнение \(y'(x) = 0\): \[4e^{4x} - 10e^{2x} = 0.\]

Решение этого уравнения даст нам критические точки.

3. Рассмотрим значения функции \(y\) в найденных критических точках и на концах отрезка \([0, 2]\). Для этого подставим значения \(x\) в функцию \(y\): - В критических точках \(x_c\), где \(y'(x_c) = 0\). - На концах отрезка, т.е., при \(x = 0\) и \(x = 2\).

4. Найдем минимальное значение функции среди полученных результатов.

Давайте выполним эти шаги более подробно.

1. Найдем производную функции \(y\):

\[y'(x) = 4e^{4x} - 10e^{2x}.\]

2. Решим уравнение \(y'(x) = 0\):

\[4e^{4x} - 10e^{2x} = 0.\]

Для упрощения уравнения давайте вынесем общий множитель: \[2e^{2x}(2e^{2x} - 5) = 0.\]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \[e^{2x} = 0 \quad \text{или} \quad 2e^{2x} - 5 = 0.\]

Первое уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция \(e^{2x}\) всегда положительна. Решим второе уравнение: \[2e^{2x} = 5 \implies e^{2x} = \frac{5}{2}.\]

Теперь найдем значения \(x\): \[2x = \ln\left(\frac{5}{2}\right).\]

3. Рассмотрим значения функции \(y\) в найденных точках:

- \(x = 0\), - \(x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{5}{2}\right)\), - \(x = 2\).

4. Найдем минимальное значение функции:

Вычислим значения функции \(y\) при найденных \(x\) и выберем наименьшее.

Таким образом, для нахождения минимального значения функции \(y\) на отрезке \([0, 2]\), нужно вычислить значения функции в точках \(x = 0\), \(x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{5}{2}\right)\) и \(x = 2\), а затем выбрать минимальное из них.