Question

Логарифм х+2 по основанию х+3 умножить на логарифм х+3 в квадрате по основанию 3 меньше или равно нулю

Answer 1

ОДЗ 
x+2>0⇒x>-2
x+3>0⇒x>-3
x+3≠1⇒x≠-2
x∈(-2;∞)
Перейдем к основанию 3
log(3)(x+2)/log(3)(x+3)*2log(3)(x+3)≤0
2log(3)(x+2)≤0
log(3)(x+2)≤0
x+2≤1
x≤-1
x∈(-2;-1]

Answer 2

Для начала, перепишем заданное неравенство:

log(x+2) / log(x+3) * log^2(x+3) / log^2(3) ≤ 0

Заметим, что в знаменателе некоторых дробей присутствуют логарифмы оснований, равные 3. Используем свойство логарифма log^a(b) = log(c)(b) / log(c)(a), где c - произвольное положительное число больше 1:

log(x+2) / log(x+3) * log^2(x+3) / log^2(3) = log(x+2) * log(c)(x+3) / log(x+3) / log(c)(3)

Теперь сделаем замену переменных:

y = log(c)(x+3)

тогда y^2 = log^2(c)(x+3), а также x = c^y - 3

Подставим новые переменные в исходное неравенство:

log(x+2) * log(c)(x+3) / log(x+3) / log(c)(3) ≤ 0

(log(c)(c^y - 3 + 2) * y) / (y * log(c)(3)) ≤ 0

(log(c)(c^y - 1) * y) / (y * log(c)(3)) ≤ 0

Упростим выражение:

(log(c)(c^y - 1)) / log(c)(3) ≤ 0

Так как логарифмы берутся по положительному основанию, то выполняется неравенство:

c^y - 1 ≤ 0

c^y ≤ 1

y ≤ 0

Таким образом, исходное неравенство log(x+2) / log(x+3) * log^2(x+3) / log^2(3) ≤ 0 выполняется при условии y ≤ 0, где y = log(c)(x+3).

То есть, ответом является множество всех значений x, для которых log(c)(x+3) ≤ 0, где c - произвольное положительное число больше 1.